Xác Định Cấp Số Và Các Yếu Tố Của Cấp Số

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán xác định cấp số và các yếu tố của cấp số, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân (CSC và CSN).

I. PHƯƠNG PHÁP

• Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng $ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} = d$ không phụ thuộc vào $n$ và $d$ là công sai.
• Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân $ \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q$ không phụ thuộc vào $n$ và $q$ là công bội.
• Ba số $a$, $b$, $c$ theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng $ \Leftrightarrow a + c = 2b.$
• Ba số $a$, $b$, $c$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân $ \Leftrightarrow ac = {b^2}.$
• Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua ${u_1}$ và $d.$
• Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua ${u_1}$ và $q.$

II. CÁC VÍ DỤ

**Ví dụ 1. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng $20$ và tổng các bình phương của chúng bằng $120.$

Lời giải:
Giả sử bốn số hạng đó là $a – 3x$; $a – x$; $a + x$; $a + 3x$ với công sai là $d = 2x.$
Khi đó, ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{(a – 3x) + (a – x) + (a + x) + (a + 3x) = 20}\\
{{{(a – 3x)}^2} + {{(a – x)}^2} + {{(a + x)}^2} + {{(a + 3x)}^2} = 120}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4a = 20}\\
{4{a^2} + 20{x^2} = 120}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 5}\\
{x = \pm 1}
\end{array}} \right..$
Vậy bốn số cần tìm là $2$; $4$; $6$; $8.$
Chú ý:

• Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn.
• Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai $d = x$, là chẵn thì gọi công sai $d = 2x$ rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng.
• Nếu cấp số cộng $\left( {{a_n}} \right)$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n} = p}\\
  {a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 = {s^2}}
  \end{array}} \right.$ thì:
  ${a_1} = \frac{1}{n}\left[ {p – \frac{{n(n – 1)}}{2}d} \right]$ và $d = \pm \sqrt {\frac{{12\left( {n{s^2} – {p^2}} \right)}}{{{n^2}\left( {{n^2} – 1} \right)}}} .$

(Còn tiếp)