Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

**Bài toán: Giải phương trình: $a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d$ $(1).$
PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước:
+ Bước 1. Với $\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$
Khi đó phương trình $(1)$ có dạng $a = d.$
+ Nếu $a = d$ thì $(1)$ nhận $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ làm nghiệm.
+ Nếu $a
e d$ thì $(1)$ không nhận $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ làm nghiệm.
+ Bước 2. Với $\cos x
e 0$ $ \Leftrightarrow x
e \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$
Chia hai vế của phương trình $(1)$ cho ${\cos ^2}x
e 0$ ta được:
$a{\tan ^2}x + b\tan x + c$ $ = d\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right).$
Đặt $t = \tan x$, phương trình có dạng:
$(a – d){t^2} + bt + c – d = 0$ $(2).$
+ Bước 3. Giải phương trình $(2)$ theo $t.$

Cách 2: Sử dụng các công thức:
${\sin ^2}x = \frac{{1 – \cos 2x}}{2}.$
${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}.$
$\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x.$
Ta được: $b\sin 2x + (c – a)\cos 2x = d – c – a$ $(3).$
Đây là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Nhận xét quan trọng:

Cách 1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập $D.$
Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo tham số.

Chú ý: Nhiều phương trình ở dạng ban đầu không phải là phương trình đẳng cấp bậc hai, khi đó chúng ta cần đánh giá thông qua một hoặc nhiều phép biến đổi lượng giác.