Bài Toán Lãi Đơn - Lãi Kép

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải các bài toán lãi đơn, bài toán lãi kép thường gặp trong chương trình Giải tích 12 và đề thi trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán.

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

DẠNG TOÁN 1. BÀI TOÁN LÃI ĐƠN

1) Kiến thức cần ghi nhớ

Định nghĩa: Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.

Công thức tính lãi đơn: $T = M(1 + r.n).$

Trong đó:

$T$: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn.
$M$: Tiền gửi ban đầu.
$n$: Số kì hạn tính lãi.
$r$: Lãi suất định kì, tính theo $\%.$

Ví dụ: Khi ta gửi tiền tiết kiệm $100$ triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất là $6,8\%$/năm thì sau một năm ta nhận được số tiền là lãi là: $100.6,8\% = 6,8$ triệu đồng.

Số tiền lãi này như nhau và được cộng vào hằng năm. Kiểu tính lãi này được gọi là lãi đơn.

Sau hai năm thì chúng ta nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là:

$100 + 2.6,8 = 113,6$ triệu đồng.

Sau $10$ năm thì chúng ta nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là:

$100 + 10.6,8 = 168$ triệu đồng.

2) Ví dụ minh họa

Câu 1. Ông Tài gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền $a$ đồng, với lãi suất $r\%$/tháng, theo phương thức lãi đơn. Hỏi sau $n$ tháng ông Tài nhận được số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức nào?

A. $a + nar\%$. B. $nar\%$. C. $a{(1 + r\% )^n}.$ D. $na(1 + r\% ).$

Hướng dẫn giải:

Đây là bài toán lãi đơn nên từ giả thiết ta có số tiền lãi là $nar\%$. Do đó, số tiền cả gốc và lãi là $a + nar\%$.

Chọn đáp án A.

Câu 2. Chị Tình gửi ngân hàng $3 350 000$ đồng, theo phương thức lãi đơn, với lãi suất $4\%$ trên nửa năm. Hỏi sau thời gian ít nhất bao lâu thì chị Tình rút được cả vốn lẫn lãi là $4 020 000$ đồng?

A. $30$ tháng. B. $5$ năm. C. $3$ năm. D. $24$ tháng.

Hướng dẫn giải:

Gọi $n$ là số chu kì gửi ngân hàng, áp dụng công thức lãi đơn ta có: $4 020 000 = 3 350 000(1 + n.0,04)$ $ \Rightarrow n = 5$ (chu kì). Vậy thời gian là $30$ tháng.

Chọn đáp án A.

Câu 3. Sinh viên A gửi tiền vào ngân hàng theo phương thức lãi đơn. Để sau $2,5$ năm bạn A rút được cả vốn lẫn lãi số tiền là $10 892 000$ đồng với lãi suất $\frac{5}{3}\%$ một quý thì bạn A phải gửi tiết kiệm số tiền là bao nhiêu?

A. $9 336 000$ đồng. B. $10 456 000$ đồng. C. $617 000$ đồng. D. $2 108 000$ đồng.

Hướng dẫn giải:

Phân tích: Đây là bài toán lãi đơn với chu kì là một quý. Vậy $2,5$ năm ứng với $10$ chu kì.

Gọi $x$ (đồng) là số tiền mà bạn A gửi tiết kiệm.

Khi đó: $10 892 000 = x\left( {1 + 10.\frac{5}{3}\% } \right)$ $ \Rightarrow x = 9 336 000.$

Chọn đáp án A.

Câu 4. Bạn Lan gửi $1 500$ USD theo phương thức lãi suất đơn cố định theo quý. Sau $3$ năm, số tiền bạn ấy nhận được cả gốc lẫn lãi là $2 320$ USD. Hỏi lãi suất tiết kiệm là bao nhiêu một quý? (làm tròn đến hàng phần nghìn).

A. $0,046$. B. $0,182$. C. $0,015$. D. $0,037$.

Hướng dẫn giải:

Phân tích: Đây là bài toán lãi đơn, chu kì là một quý. Áp dụng công thức $T = M(1 + r.n)$, ta có: $2 320 = 1 500(1 + 12r\%)$, suy ra $r\% \approx 0,046$ một quý.

Chọn đáp án A.

DẠNG TOÁN 2. BÀI TOÁN LÃI KÉP

1) Kiến thức cần ghi nhớ

Định nghĩa: Sau một đơn vị thời gian lãi được gộp vào vốn và được tính lãi vào thời gian kế tiếp. Loại lãi này được gọi là lãi kép.

Các hình thức lãi kép và bài toán về tiền gửi:

Lãi kép, gửi một lần: $T = M{(1 + r)^n}.$

Trong đó:
- $T$: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn.
- $M$: Tiền gửi ban đầu.
- $n$: Số kì hạn tính lãi.
- $r$: Lãi suất định kì, tính theo $\%.$
Từ công thức $T = M{(1 + r)^n}$, bằng phép lấy logarit hai vế, ta có thể tìm được các thông số như sau:
- Số tiền gửi ban đầu.
- Số kì hạn gửi.
- Lãi suất định kì.
Lãi kép, gửi định kì:
- Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng.
  - Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền: ${T_1} = M.$
  - Cuối tháng thứ $2$, người đó có số tiền là: $M(1 + r) + M$ $ = M[(1 + r) + 1]$ $ = \frac{M}{{[(1 + r) – 1]}}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right]$ $ = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right].$
  - Cuối tháng thứ $3:$ $\frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right](1 + r) + \frac{M}{r}.r$ $ = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^3} – 1} \right].$ … ….
  - Cuối tháng thứ $n$, người đó có số tiền là: ${T_n} = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right].$
  Chú ý: Chúng ta có thể tìm công thức tổng quát bằng cách sau:
  - Tiền gửi tháng thứ nhất sau $n-1$ kì hạn ($n-1$ tháng) thành: $M{(1 + r)^{n – 1}}.$
  - Tiền gửi tháng thứ nhất sau $n–2$ kì hạn ($n – 2$ tháng) thành: $M{(1 + r)^{n – 2}}.$
  - Tiền gửi tháng cuối cùng là: $M{(1 + r)^0}.$
  Vậy áp dụng công thức tổng cấp số nhân, số tiền cuối tháng $n$ là:
  
  $M{(1 + r)^{n – 1}}$ $ + M{(1 + r)^{n – 2}}$ $ + \ldots + M{(1 + r)^0}$ $ = M\frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{{1 + r – 1}}$ $ = M\frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r}.$
  
  Ta cũng được công thức trên: ${T_n} = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right].$
- Trường hợp 2: Tiền gửi vào đầu mỗi tháng.
  - Cuối tháng thứ nhất, người đó có số tiền là: ${T_1} = M + Mr$ $ = M(1 + r).$
  - Đầu tháng thứ hai, người đó có số tiền là: ${T_2} = M(1 + r) + M$ $ = M[(1 + r) + 1]$ $ = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right].$
  - Cuối tháng thứ hai, người đó có số tiền là: ${T_3} = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right]$ $ + \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right]r$ $ = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right](1 + r).$
  Tương tự lập luận như trên ta cũng có công thức tính số tiền nhận được vào cuối tháng thứ $n$ là: ${T_n} = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right](1 + r).$

2) Ví dụ minh họa

Ví dụ: Thầy Tài muốn sau $5$ năm sẽ có $1$ tỉ (đồng) để mua một chiếc xế hộp CX5. Hỏi rằng thầy Tài phải gửi ngân hàng (số tiền gửi không đổi) vào đầu tháng là bao nhiêu để được số tiền như trên? Biết lãi suất được tính theo lãi kép và mỗi tháng là $0,5\%.$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức ${T_n} = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right](1 + r)$ với ${T_{60}} = 1 000 000 000$, $r = 0,5\%$. Ta có:

${T_{60}} = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^{60}} – 1} \right](1 + r)$ $ \Leftrightarrow M = \frac{{r{T_{60}}}}{{\left[ {{{(1 + r)}^{60}} – 1} \right](1 + r)}}.$

$ = \frac{{0,5\% .1000000000}}{{1,005\left( {1,{{005}^{60}} – 1} \right)}}$ $ = 14 261 494.$

Vậy mỗi tháng Thầy Tài phải gửi tiết kiệm vào ngân hàng khoảng tiền là $14 261 494$ (đồng), liên tục trong $5$ năm thì ước nguyện của Thầy Tài sẽ thành hiện thực.

B. BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM LÃI ĐƠN – LÃI KÉP

Câu 1. Anh Tài gửi tiết kiệm vào ngân hàng Vietcombank số tiền $50$ triệu đồng, với lãi suất $0,79\%$/tháng, theo phương thức tính lãi kép. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi Anh Tài nhận được sau $2$ năm? (làm tròn đến hàng nghìn).

A. $60 393 000$ đồng. B. $50 793 000$ đồng. C. $50 790 000$ đồng. D. $59 480 000$ đồng.

Hướng dẫn giải:

Phân tích: Đây là bài toán lãi kép với chu kì là một tháng và gửi một lần, ta áp dụng công thức $T = A{(1 + r\%)^n}$ với $A = 50$ triệu đồng, $r\% = 0,79\%$ và $n = 2.12 = 24$ tháng.

Chọn đáp án A.

Câu 2. Một người gửi tiết kiệm $50$ triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $7\%$ một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Sau $5$ năm mới rút lãi thì người đó thu được số tiền lãi là:

A. $20,128$ triệu đồng. B. $70,128$ triệu đồng. C. $3,5$ triệu đồng. D. $50,7$ triệu đồng.

Hướng dẫn giải:

Phân tích: Đây là bài toán lãi kép với chu kì là một năm. Dùng công thức $T = A{(1 + r\%)^n}.$ Ta có:

Sau $5$ năm, người đó thu được cả vốn lẫn lãi là:

$50{(1 + 7\%)^5} = 70,128$ (triệu đồng).

Vậy, sau $5$ năm mới rút lãi thì người đó thu được số tiền lãi là:

$70,128 – 50 = 20,128$ (triệu đồng).

Chọn đáp án A.

...(Nội dung quá dài, vui lòng cung cấp nội dung tiếp theo để được dịch tiếp)