Cách Giải Phương Trình Mũ

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải một số dạng toán phương trình mũ thường gặp trong chương trình Giải tích 12.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.

2. Phương trình mũ cơ bản

${a^x} = m$ với $0 < a
e 1.$

• Nếu $m \le 0$ thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu $m > 0$ thì: ${a^x} = m \Leftrightarrow x = {\log _a}m.$

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Đưa về cùng cơ số

1. Phương pháp

Sử dụng các quy tắc biến đổi lũy thừa để đưa phương trình đã cho về phương trình mà hai vế là hai lũy thừa có cùng cơ số. Áp dụng kết quả: Với $0 < a
e 1$ thì ${a^\alpha } = {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha = \beta .$ Ta sẽ đưa phương trình đã cho về phương trình không còn ẩn ở mũ.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình: ${3^x} – {3^{x – 1}} + {3^{x – 2}} = {2^x} + {2^{x – 1}} + {2^{x – 2}}.$

Giải:

${3^x} – {3^{x – 1}} + {3^{x – 2}} = {2^x} + {2^{x – 1}} + {2^{x – 2}}$ $\Leftrightarrow {3^x} – \frac{{{3^x}}}{3} + \frac{{{3^x}}}{9} = {2^x} + \frac{{{2^x}}}{2} + \frac{{{2^x}}}{4}$ $\Leftrightarrow \frac{7}{9}{3^x} = \frac{7}{4}{2^x}$ $\Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}$ $\Leftrightarrow x = 2.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 2$.

Ví dụ 2: Giải phương trình: ${(7 + 4\sqrt 3 )^{{x^2} – x – 5}} = {(7 – 4\sqrt 3 )^{2x + 3}}.$

Giải:

${(7 + 4\sqrt 3 )^{{x^2} – x – 5}} = {(7 – 4\sqrt 3 )^{2x + 3}}$ $\Leftrightarrow {(7 + 4\sqrt 3 )^{{x^2} – x – 5}} = {(7 + 4\sqrt 3 )^{ – 2x – 3}}$ $\Leftrightarrow {x^2} – x – 5 = – 2x – 3$ $\Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = – 2} \end{array}} \right..$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = 1$ và $x = -2$.

Ví dụ 3: Giải phương trình: ${5^{x – 2}} = {10^x}{.2^{ – x}}{.5^{x + 3}}.$

Giải:

${5^{x – 2}} = {10^x}{.2^{ – x}}{.5^{x + 3}}$ $\Leftrightarrow {5^{x – 2}} = {5^x}{2^x}{.2^{ – x}}{.5^{x + 3}}$ $\Leftrightarrow {5^{x – 2}} = {5^{2x + 3}}$ $\Leftrightarrow x – 2 = 2x + 3$ $\Leftrightarrow x = – 5.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = -5$.

Vấn đề 2: Đặt ẩn phụ

1. Phương pháp

Tìm một lũy thừa chung, đặt làm ẩn phụ $t$ để đưa phương trình về phương trình đơn giản hơn. Khi đặt ẩn phụ cần lưu ý:

1. Nếu đặt $t = {a^x}$, điều kiện $t>0$ thì: ${a^{2x}} = {\left( {{a^2}} \right)^x} = {\left( {{a^x}} \right)^2} = {t^2}.$ ${a^{3x}} = {t^3}.$ ${a^{ – x}} = \frac{1}{t}.$ ……

2. Lưu ý các kết quả sau: $\sqrt 2 – 1 = {(\sqrt 2 + 1)^{ – 1}}.$ $2 – \sqrt 3 = {(2 + \sqrt 3 )^{ – 1}}.$ $4 – \sqrt {15} = {(4 + \sqrt {15} )^{ – 1}}.$ $\sqrt {7 – \sqrt {48} } = {\left( {\sqrt {7 + \sqrt {48} } } \right)^{ – 1}}.$

3. Gặp phương trình dạng $\alpha .{a^{2f(x)}} + \beta .{a^{f(x) + g(x)}} + \gamma .{a^{2g(x)}} = 0$ ta chia hai vế cho ${a^{2g(x)}}$ và đặt $t = {a^{f(x) – g(x)}}.$

4. Gặp phương trình dạng $\alpha .{a^{2f(x)}} + \beta .{(ab)^{f(x)}} + \gamma .{b^{2f(x)}} = 0$ ta chia hai vế cho ${a^{2f(x)}}$ và đặt $t = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f(x)}}.$

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình: ${e^{4x}} + 2 = 3.{e^{2x}}$ $(1).$

Giải:

Đặt ${e^{2x}} = t$ với $t > 0.$ $(1) \Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 1}\\ {t = 2} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \frac{1}{2}\ln 2} \end{array}} \right..$

Vậy nghiệm của phương trình $(1)$ là: $x = 0$ hay $x = \frac{1}{2}\ln 2.$

Ví dụ 2: Giải phương trình: ${\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} + {\left( {\sqrt {2 – \sqrt 3 } } \right)^x} = 4$ $(2).$

Giải:

Đặt ${\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} = t$ $\left( {t > 0} \right)$ $ \Rightarrow {\left( {\sqrt {2 – \sqrt 3 } } \right)^x} = \frac{1}{t}.$ Phương trình $(2)$ trở thành: $t + \frac{1}{t} – 4 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{t_1} = 2 + \sqrt 3 }\\ {{t_2} = 2 – \sqrt 3 } \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow x = \pm 2.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = 2$ và $x = -2$.

Vấn đề 3: Phương pháp logarit hóa

1. Phương pháp

Với phương trình không cùng cơ số dạng: ${a^{f(x)}} = {b^{g(x)}}$ ($a$, $b$ dương, khác $1$ và nguyên tố cùng nhau), lấy lôgarit cơ số $a$ (hoặc $b$) cho hai vế, ta có: ${a^{f(x)}} = {b^{g(x)}}$ $\Leftrightarrow {\log _a}\left[ {{a^{f(x)}}} \right] = {\log _a}\left[ {{b^{g(x)}}} \right]$ $\Leftrightarrow f(x) = g(x).{\log _a}b.$

2. Ví dụ

Ví dụ: Giải phương trình: ${50.2^{{x^2} – 2}} = {5^{x + 1}}$ $(1).$

Giải:

Ta có: $(1) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{50.2}^{{x^2} – 2}}} \right) = {\log _2}{5^{x + 1}}.$ $\Leftrightarrow {\log _2}50 + {\log _2}{2^{{x^2} – 2}} = (x + 1){\log _2}5.$ $\Leftrightarrow {\log _2}{5^2}.2 + {x^2} – 2 – x{\log _2}5 – {\log _2}5 = 0.$ $\Leftrightarrow {x^2} – x{\log _2}5 – 1 + {\log _2}5 = 0.$ $\Leftrightarrow x = 1$ hay $x = {\log _2}5 – 1.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=1$ hoặc $x={\log _2}5 – 1$.

Vấn đề 4: Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số

1. Phương pháp

Hướng 1: Biến đổi hai vế của phương trình sao cho một vế là một hàm số đồng biến (hoặc là hàm hằng) và một vế là một hàm số nghịch biến (hoặc là hàm hằng).

• Bước 1: Nhẩm và chứng minh ${x_0}$ là nghiệm.
• Bước 2: Chứng minh ${x_0}$ là nghiệm duy nhất (bằng cách chứng minh $x
  e {x_0}$ không là nghiệm). Hướng 2: Đưa phương trình về dạng $f(u) = f(v)$ mà $f$ là hàm số tăng hay giảm. Khi đó ta có: $f(u) = f(v) \Leftrightarrow u = v.$

2. Ví dụ

Ví dụ: Giải phương trình: ${2^x} + 3x – 5 = 0$ $(1).$

Giải:

Xét hàm số $f(x) = {2^x} + 3x – 5$, ta có: $f(1) = 0$ nên $x = 1$ là một nghiệm của phương trình. $f'(x) = {2^x}\ln 2 + 3 > 0$, $\forall x$ nên $f$ đồng biến trên $R.$ Suy ra $(1)$ có nhiều nhất là một nghiệm. Vậy phương trình $(1)$ có một nghiệm duy nhất $x = 1.$

Vấn đề 5: Đưa về phương trình tích

1. Phương pháp

Biến đổi phương trình đã cho thành phương trình tích: $A.B = 0.$ Từ đó ta đưa việc giải phương trình đã cho về giải các phương trình $A = 0$; $B = 0$ đơn giản hơn.

2. Ví dụ

Ví dụ: Giải phương trình: ${x^2}{.2^{x – 1}} – {2^{x + 1}} – {x^2}{.2^{|x – 7| + 4}} + {2^{|x – 7| + 6}} = 0$ $(1).$

Giải:

Biến đổi bằng cách đặt thừa số chung, ta có: ${2^{x – 1}}\left( {{x^2} – 4} \right) – {2^{|x – 7| + 4}}\left( {{x^2} – 4} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( {{x^2} – 4} \right)\left( {{2^{x – 1}} – {2^{|x – 7| + 4}}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 4 = 0\:\left( 1 \right)}\\ {{2^{x – 1}} = {2^{|x – 7| + 4}}\:\left( 2 \right)} \end{array}} \right..$

$(1) \Leftrightarrow x = \pm 2.$ $(2) \Leftrightarrow x – 1 = |x – 7| + 4$ $\Leftrightarrow |x – 7| = x – 5$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – 5 \ge 0}\\ {x – 7 = x – 5}\\ {x – 7 = – (x – 5)} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 5}\\ {x = 6} \end{array} \Leftrightarrow x = 6} \right..$

Vậy phương trình đã cho có $3$ nghiệm là $x = -2$, $x = 2$, $x = 6$.

C. BÀI TẬP

Dưới đây là một số bài tập để luyện tập:

1. Giải các phương trình sau: a. ${5^{x + 1}} – {5^x} = {2.2^x} + {2^{x + 3}}.$ b. ${2^{\frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x (5\sqrt x + 1)}}}} – {2^{2\sqrt x – 1}} = 0.$ c. ${3^{x + 1}} + {18.3^{ – x}} = 29.$ d. ${(\sqrt 3 – \sqrt 2 )^x} + {(\sqrt 3 + \sqrt 2 )^x} = {(\sqrt {10} )^x}.$ e. ${x^2}.\left( {{2^{x + 1}} – {2^{|x – 3| + 4}}} \right) + {2^{|x – 3| + 2}} – {2^{x – 1}} = 0.$ f. ${2^{{x^2} + x}} – {4.2^{{x^2} – x}} – {2^{2x}} + 4 = 0.$

Lưu ý: Bài viết chỉ cung cấp một số phương pháp giải phương trình mũ cơ bản. Để giải quyết các bài toán phức tạp hơn, học sinh cần nắm vững kiến thức về lũy thừa, logarit và các kỹ năng biến đổi đại số.