Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình đối xứng đối với tanx và cotx.

I. PHƯƠNG PHÁP

Bài toán 1: Giải phương trình: $a\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)$ $ + b(\tan x + \cot x) + c = 0$ $(1).$

PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x
e 0}\\ {\cos x
e 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x
e 0$ $ \Leftrightarrow x
e \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$

Bước 2: Đặt $\tan x + \cot x = t$, điều kiện $|t| \ge 2$ $ \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} – 2.$

Khi đó phương trình có dạng: $a\left( {{t^2} – 2} \right) + bt + c = 0$ $ \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c – 2a = 0$ $(2).$

Bước 3: Giải phương trình $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện $|t| \ge 2.$

Bước 4: Với $t = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \tan x + \cot x = {t_0}$, khi đó ta có thể lựa chọn một trong hai hướng biến đổi sau:

Hướng 1: Ta có: $\tan x + \frac{1}{{\tan x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow {\tan ^2}x – {t_0}\tan x + 1 = 0.$ Đây là phương trình bậc hai theo $\tan x.$
Hướng 2: Ta có: $\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{{2{t_0}}}.$ Đây là phương trình cơ bản của sin.

Chú ý: Cũng có thể lựa chọn phép đổi biến $t = \tan x$, tuy nhiên khi đó ta sẽ thu được một phương trình bậc cao.

Bài toán 2: Giải phương trình: $a\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)$ $ + b(\tan x - \cot x) + c = 0$ $(1).$

PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 2: Đặt $\tan x - \cot x = t$ $ \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2.$

Khi đó phương trình có dạng: $a\left( {{t^2} + 2} \right) + bt + c = 0$ $ \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c + 2a = 0$ $(2).$

Bước 3: Giải phương trình $(2)$ theo $t.$

Bước 4: Với $t = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \tan x - \cot x = {t_0}$, khi đó ta có thể lựa chọn một trong hai hướng biến đổi sau:

Hướng 1: Ta có: $\tan x - \frac{1}{{\tan x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow {\tan ^2}x - {t_0}\tan x - 1 = 0.$ Đây là phương trình bậc hai theo $\tan x.$
Hướng 2: Ta có: $\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \frac{{ - 2\cos 2x}}{{\sin 2x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \cot 2x = - \frac{{{t_0}}}{2}.$ Đây là phương trình cơ bản của cotan.

Chú ý: Cũng có thể lựa chọn phép đổi biến $t = \tan x$, tuy nhiên khi đó ta sẽ thu được một phương trình bậc cao.