Lý thuyết và bài tập Lũy thừa với số mũ hữu tỉ - thực, Hàm số lũy thừa

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. Lũy thừa với số mũ nguyên: 1. Định nghĩa: a. Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Cho $a \in R$, $n \in N$, $n \ge 1$, ta định nghĩa: ${a^n} = \underbrace {a.a.a \ldots a}_{n{\rm{\:thừa\:số\:}}a}.$ (${a^n}$ là lũy thừa bậc $n$ của $a$, $a$ gọi là cơ số, $n$ là số mũ). b. Lũy thừa với số mũ $0$ và mũ nguyên âm: Cho $a
e 0$, $b
e 0$ và $m,n \in Z$, ta có:

1. ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}.$
2. $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.$
3. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}.$
4. ${(ab)^n} = {a^n}{b^n}.$
5. ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}.$ b. Định lí 2: (tính chất bất đẳng thức): Cho $m,n \in Z$. Khi đó:
6. Với $a > 1$: ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n.$
7. Với $0 < a < 1$: ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n.$ Hệ quả 1: Với $0 < a < b$, $m \in Z$ ta có:
8. ${a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0.$
9. ${a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0.$ Hệ quả 2: Với $n$ là số tự nhiên lẻ: $a < b \Rightarrow {a^n} < {b^n}.$

II. Căn bậc $n$ và lũy thừa số mũ hữu tỉ: 1. Căn bậc $n$: a. Định nghĩa: Cho $a \in R$, $n \in {Z^ + }$, ta gọi số thực $b$ là căn bậc $n$ của số $a$ nếu ${b^n} = a.$ Nhận xét: + Mỗi số thực $a$ có duy nhất một căn bậc $n$ lẻ, kí hiệu là $\sqrt[n]{a}.$ + Mỗi số thực $a>0$ có đúng hai căn bậc $n$ chẵn đối nhau, kí hiệu: giá trị dương là $\sqrt[n]{a}$ và giá trị âm là $ – \sqrt[n]{a}.$ b. Tính chất: Cho $a,b \in R$, $m,n \in {Z^ + }$, $p,q \in Z$. Với các điều kiện của $a$, $b$ để các biểu thức có nghĩa, ta có:

1. $\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}.$
2. $\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}$ $(a,b > 0).$
3. $\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^p}$ $(a
   e 0).$
4. $\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}.$
5. Nếu $\frac{p}{n} = \frac{q}{m}$ thì $\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}$ $(a
   e 0).$ Đặc biệt: $\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}}$ $(a
   e 0).$ 2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a. Định nghĩa: Cho số thực $a$ dương, $r$ là số hữu tỉ có dạng $r = \frac{m}{n}$ với $m \in Z$ và $n \in {Z^ + }.$ Ta định nghĩa: ${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.$ b. Tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Lũy thừa số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu ở phần I.

III. Lũy thừa với số mũ thực: 1. Định nghĩa: Cho số thực $a>0$ và $\alpha $ là một số vô tỉ. Ta luôn có một dãy các số hữu tỉ ${r_1},{r_2},{r_3}, \ldots ,{r_n}, \ldots $ mà $\lim {r_n} = \alpha .$ Xét dãy số những lũy thừa của $a$ tương ứng: ${a^{{r_1}}},{a^{{r_2}}},{a^{{r_3}}}, \ldots ,{a^{{r_n}}}, \ldots .$ Người ta chứng minh được rằng dãy số ${a^{{r_1}}},{a^{{r_2}}},{a^{{r_3}}}, \ldots ,{a^{{r_n}}}, \ldots $ có giới hạn xác định (không phụ thuộc vào dãy hữu tỉ $\left( {{r_n}} \right)$ đã chọn) khi $n \to + \infty .$ Giới hạn đó được gọi là lũy thừa với số mũ vô tỉ $\alpha $ của số dương $a.$ Kí hiệu là ${a^\alpha }.$ Vậy ${a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}.$ Chú ý về cơ số của lũy thừa ${a^r}$: Nếu $r \in {Z^ + }$ thì cơ số $a \in R.$ Nếu $r \in Z$ thì cơ số $a
e 0.$ Nếu $r \in R$ thì cơ số $a > 0.$ 2. Tính chất lũy thừa với số mũ thực: Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.

B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính toán – rút gọn các biểu thức lũy thừa. Ví dụ: Tính giá trị biểu thức $A = {\left( {\frac{1}{{256}}} \right)^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ – \frac{4}{3}}}.$ Giải: Ta có: $A = {\left( {\frac{1}{{256}}} \right)^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ – \frac{4}{3}}}$ $ = {\left( {{4^{ – 4}}} \right)^{ – \frac{3}{4}}} + {\left( {{3^{ – 3}}} \right)^{ – \frac{4}{3}}}$ $ = {4^3} + {3^4} = 91.$

Dạng 2: So sánh các lũy thừa hay căn số. Ví dụ: So sánh hai số $m = \sqrt {42} $ và $n = \sqrt[3]{{51}}.$ Giải: Ta có: $m = \sqrt {42} = \sqrt[6]{{{{42}^3}}} > \sqrt[6]{{{{40}^3}}}$ và $n = \sqrt[3]{{51}} = \sqrt[6]{{{{51}^2}}} < \sqrt[6]{{{{60}^2}}}.$ Mà ${40^3} = 64000 > 3600 = {60^2}$ nên $m > n.$

Dạng 3: Chứng minh một đẳng thức, bất đẳng thức. Ví dụ: Cho $a$, $b$, $c > 0$ thỏa $a + b = c.$ Chứng minh ${a^m} + {b^m} > {c^m}$ nếu $0 < m < 1.$ _Giải:_ Vì $a$, $b$, $c$ đều dương nên ta có: $c>a$, $c>b$ và $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1 \Rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1$, $0 < \frac{b}{c} < 1.$ Do đó khi $0 < m < 1$ ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {\frac{a}{c}} \right)}^m} > \frac{a}{c}}\\
{{{\left( {\frac{b}{c}} \right)}^m} > \frac{b}{c}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \frac{{{a^m}}}{{{c^m}}} + \frac{{{b^m}}}{{{c^m}}} > \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1.$ Vậy khi $0 < m < 1$ ta luôn có ${a^m} + {b^m} > {c^m}.$

Dạng 4: Giải phương trình chứa lũy thừa. Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt[3]{{\frac{{1 + x}}{2}}} + \sqrt {\frac{{1 – x}}{2}} = 1$ $(1).$ Giải: Đặt $u = \sqrt[3]{{\frac{{1 + x}}{2}}}$, $v = \sqrt {\frac{{1 – x}}{2}} $ với $v \ge 0.$ $(1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{v \ge 0}\\
{u + v = 1}\\
{{u^3} + {v^2} = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{v \ge 0}\\
{v = 1 – u}\\
{{u^3} + {{(1 – u)}^2} = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{v \ge 0}\\
{v = 1 – u}\\
{{u^3} + {u^2} – 2u + 1 = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{v \ge 0}\\
{v = 1 – u}\\
{{u^3} + {u^2} – 2u = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 0}\\
{v = 1}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 1}\\
{v = 0}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = – 2}\\
{v = 3}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\\
{x = 1}\\
{x = – 17}
\end{array}} \right..$ Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm là ${x_1} = – 1$, ${x_2} = 1$, ${x_3} = – 17.$