Hàm Số Lượng Giác Và Các Vấn Đề Liên Quan Lớp 11

Bài viết trình bày lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác trong chương trình Đại số và Giải tích 11.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. Các hằng đẳng thức:

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ với mọi $\alpha .$
$\tan \alpha .\cot \alpha = 1$ với mọi $\alpha
e \frac{{k\pi }}{2}.$
$1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ với mọi $\alpha
e k2\pi .$
$1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ với mọi $\alpha
e k\pi .$

2. Hệ thức các cung đặc biệt:

a. Hai cung đối nhau: $\alpha $ và $ – \alpha .$

$\cos ( – \alpha ) = \cos \alpha .$
$\sin ( – \alpha ) = – \sin \alpha .$
$\tan ( – \alpha ) = – \tan \alpha .$
$\cot ( – \alpha ) = – \cot \alpha .$

b. Hai cung phụ nhau: $\alpha $ và $\frac{\pi }{2} – \alpha .$

$\cos \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \sin \alpha .$
$\sin \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \cos \alpha .$
$\tan \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \cot \alpha .$
$\cot \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \tan \alpha .$

c. Hai cung bù nhau: $\alpha $ và $\pi – \alpha .$

$\sin (\pi – \alpha ) = \sin \alpha .$
$\cos (\pi – \alpha ) = – \cos \alpha .$
$\tan (\pi – \alpha ) = – \tan \alpha .$
$\cot (\pi – \alpha ) = – \cot \alpha .$

d. Hai cung hơn kém nhau $\pi $: $\alpha $ và $\pi + \alpha .$

$\sin (\pi + \alpha ) = – \sin \alpha .$
$\cos (\pi + \alpha ) = – \cos \alpha .$
$\tan (\pi + \alpha ) = \tan \alpha .$
$\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha .$

3. Các công thức lượng giác:

a. Công thức cộng

$\cos (a \pm b) = \cos a.\cos b \pm \sin a.\sin b.$
$\sin (a \pm b) = \sin a.\cos b \pm \cos a.\sin b.$
$\tan (a \pm b) = \frac{{\tan a \pm \tan b}}{{1 \pm \tan a.\tan b}}.$

b. Công thức nhân

$\sin 2a = 2\sin a\cos a.$
$\cos 2a = {\cos ^2}a – {\sin ^2}a = 1 – 2{\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a – 1.$
$\sin 3a = 3\sin a – 4{\sin ^3}a.$
$\cos 3a = 4{\cos ^3}a – 3\cos a.$

c. Công thức hạ bậc

${\sin ^2}a = \frac{{1 – \cos 2a}}{2}.$
${\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}.$
${\tan ^2}a = \frac{{1 – \cos 2a}}{{1 + \cos 2a}}.$

d. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\cos a.\cos b = \frac{1}{2}[\cos (a – b) + \cos (a + b)].$
$\sin a.\sin b = \frac{1}{2}[\cos (a – b) – \cos (a + b)].$
$\sin a.\cos b = \frac{1}{2}[\sin (a – b) + \sin (a + b)].$

e. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a – b}}{2}.$
$\cos a – \cos b = – 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a – b}}{2}.$
$\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a – b}}{2}.$
$\sin a – \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a – b}}{2}.$
$\tan a + \tan b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\cos a\cos b}}.$
$\tan a – \tan b = \frac{{\sin (a – b)}}{{\cos a\cos b}}.$

II. TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa: Hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T
e 0$ sao cho với mọi $x \in D$ ta có: $x \pm T \in D$ và $f(x + T) = f(x)$. Nếu có số $T$ dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì $T.$

III. CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số $y = \sin x.$

Tập xác định: $D = R.$
Tập giá trị: $[ – 1;1]$, tức là $ – 1 \le \sin x \le 1$, $\forall x \in R.$
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$, nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right).$
Hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.
Hàm số $y = \sin x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi .$

2. Hàm số $y = \cos x.$

Tập xác định: $D = R.$
Tập giá trị: $[ – 1;1]$, tức là $ – 1 \le \cos x \le 1$, $\forall x \in R.$
Hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(k2\pi ;\pi + k2\pi )$, đồng biến trên mỗi khoảng $( – \pi + k2\pi ;k2\pi ).$
Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.
Hàm số $y = \cos x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi .$

3. Hàm số $y = \tan x.$

Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}.$
Tập giá trị: $R.$
Hàm số $y = \tan x$ là hàm số lẻ.
Hàm số $y = \tan x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \pi .$
Hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right).$
Đồ thị nhận mỗi đường thẳng $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z$ làm một đường tiệm cận.

4. Hàm số $y = \cot x.$

Tập xác định: $D = R\backslash \{ k\pi ,k \in Z\} .$
Tập giá trị: $R.$
Hàm số $y = \cot x$ là hàm số lẻ.
Hàm số $y = \cot x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \pi .$
Hàm số $y = \cot x$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi ;\pi + k\pi ).$
Đồ thị hàm số $y = \cot x$ nhận mỗi đường thẳng $x = k\pi $, $k \in Z$ làm một đường tiệm cận.