Bài Toán Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Hàm Số Lượng Giác

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.

Dạng toán 1. Tìm GTLN – GTNN của hàm số lượng giác sử dụng điều kiện $-1 \le \sin x \le 1$, $-1 \le \cos x \le 1.$

Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sin x + \sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right).$
A. $-1.$
B. $0.$
C. $-2.$
D. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Lời giải:

Chọn A.
Ta có $A = \sin x + \sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)$ $ = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \frac{\pi }{3}$ $ = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).$
$-1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1$ $ \Leftrightarrow -1 \le A \le 1$, $\forall x \in R.$
Vậy $\mathop {\min }\limits_{x \in R} A = -1$ khi $\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = -1$ $ \Leftrightarrow x = -\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi $, $k \in Z.$

Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x.$
A. $1.$
B. $0.$
C. $2.$
D. $\frac{1}{2}.$

Lời giải:

Chọn A.
Ta có $A = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x.$
$0 \le {\sin ^2}2x \le 1$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1$, $\forall x \in R.$
Vậy $\mathop {\max }\limits_{x \in R} A = 1$ khi ${\sin ^2}x = 1$ $ \Leftrightarrow \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$

Bài tập tự luyện:

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2\sin x - 3$.
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {\cos ^2}x + \sin x + 1$.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt {1 - \cos x} + 2$.

Dạng toán 2. Tìm GTLN – GTNN của hàm số lượng giác có dạng $y = a\sin x + b\cos x + c.$

Bài toán 3: Cho hàm số $y = \frac{{\sin x - 2\cos x}}{{\sin x + \cos x + 3}}.$ Gọi $m$, $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho. Tính $7m - 5M$ bằng?
A. $10.$
B. $1.$
C. $0.$
D. $-10.$

Lời giải:

Chọn D.
Tập xác định: $D = R.$
Ta có: $y = \frac{{\sin x - 2\cos x}}{{\sin x + \cos x + 3}}$ $ \Leftrightarrow (1 - y)\sin x - (y + 2)\cos x = 3y.$
Phương trình trên có nghiệm $ \Leftrightarrow {(1 - y)^2} + {(y + 2)^2} \ge 9{y^2}.$
$ \Leftrightarrow 7{y^2} - 2y - 5 \le 0$ $ \Leftrightarrow - \frac{5}{7} \le y \le 1$ $ \Rightarrow m = - \frac{5}{7}$, $M = 1.$
Vậy $7m - 5M = -5 - 5 = -10.$

Bài tập tự luyện:

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x + \cos x$.
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2\sin x - \cos x + 3$.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x + 2$.

Dạng toán 3. Tìm GTLN – GTNN của hàm số lượng giác bằng cách sử dụng bất đẳng thức cổ điển.

Bài toán 4: Cho hàm số $y = \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x} + \sqrt {1 + 2{{\cos }^2}x} - 1.$ Gọi $m$, $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó giá trị của $M + m$ bằng?
A. $\sqrt 3 + 2\sqrt 2 .$
B. $\sqrt 3 + \sqrt 2 - 1.$
C. $\sqrt 3 + 2\sqrt 2 - 1.$
D. $-\sqrt 3 + 3\sqrt 2 - 1.$

Lời giải:

Chọn C.
Đặt $t = \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x} + \sqrt {1 + 2{{\cos }^2}x} .$
$ \Rightarrow {t^2} = \left( {1 + 2{{\sin }^2}x} \right) + \left( {1 + 2{{\cos }^2}x} \right)$ $ + 2\sqrt {\left( {1 + 2{{\sin }^2}x} \right)\left( {1 + 2{{\cos }^2}x} \right)} $ $ = 4 + 2\sqrt {3 + {{\sin }^2}2x} .$
$ \Rightarrow t = \sqrt {4 + 2\sqrt {3 + {{\sin }^2}2x} } $ $ \ge \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = 1 + \sqrt 3 .$
$ \Rightarrow y = \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x} + \sqrt {1 + 2{{\cos }^2}x} - 1 \ge \sqrt 3 .$
Dấu bằng xảy ra khi $\sin 2x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}.$ Khi đó $m = \sqrt 3 .$
Mặt khác: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
$\sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x} + \sqrt {1 + 2{{\cos }^2}x} $ $ \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {1 + 2{{\sin }^2}x + 1 + 2{{\cos }^2}x} \right)} $ $ = 2\sqrt 2 .$
$ \Rightarrow y = \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x} + \sqrt {1 + 2{{\cos }^2}x} - 1$ $ \le 2\sqrt 2 - 1.$
Dấu bằng xảy ra khi ${\sin ^2}x = {\cos ^2}x$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\\
{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$ Khi đó $M = 2\sqrt 2 - 1.$
Vậy $M + m = \sqrt 3 + 2\sqrt 2 - 1.$

Bài tập tự luyện:

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x + \sqrt {1 + {{\cos }^2}x} $.
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt {2 + \sin x} + \sqrt {2 - \sin x} $.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt {9 - 4{{\sin }^2}x} + \sqrt {1 + 4{{\sin }^2}x} $.