Cách giải bất phương trình logarit

Cách Giải Bất Phương Trình Logarit

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải một số dạng toán bất phương trình logarit thường gặp trong chương trình Giải tích 12.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa: Bất phương trình logarit cơ bản là bất phương trình có một trong các dạng: ${\log _a}x > m$, ${\log _a}x \ge m$, ${\log _a}x < m$, ${\log _a}x \le m$ với $0 < a
e 1.$

Phương pháp chung: Dùng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm mũ (mũ hóa).
Chú ý: Có thể tìm tập xác định của bất phương trình trước khi giải.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Bất phương trình logarit dạng cơ bản.

1. PHƯƠNG PHÁP:
Với bất phương trình ${\log _a}x > m$ $(1).$
$(1) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > {a^m}{\rm{\:nếu\:}}a > 1}\\
{0 < x < {a^m}{\rm{\:nếu\:}}0 < a < 1}
\end{array}} \right..$

2. VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ${\log _3}\frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} < 1.$

Giải:

${\log _3}\frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} < 1$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} > 0}\\
{\frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} < 3}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} > 0}\\
{\frac{{{x^2} – 2x + 9}}{{2x – 3}} < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 3 < 0}\\
{{x^2} + 4x < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < \frac{3}{2}}\\
{ – 4 < x < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow – 4 < x < 0.$

Vấn đề 2: Đưa logarit về cùng một cơ số.

1. PHƯƠNG PHÁP:
Với $0 < a
e 1$, ta có:
+ ${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x)$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) > g(x) > 0{\rm{\:nếu\:}}a{\rm{ }} > 1}\\
{0 < f(x) < g(x){\rm{\:nếu\:}}0 < a < 1}
\end{array}} \right..$
+ ${\log _a}f(x) ≥ {\log _a}g(x)$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) ≥ g(x) > 0{\rm{\:nếu\:}}a{\rm{ }} > 1}\\
{0 < f(x) ≤ g(x){\rm{\:nếu\:}}0 < a < 1}
\end{array}} \right..$

2. VÍ DỤ:
Ví dụ: Giải bất phương trình: ${\log _2}(x – 3) + {\log _2}(x – 2) \le 1.$

Giải:

${\log _2}(x – 3) + {\log _2}(x – 2) \le 1$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 3 > 0}\\
{x – 2 > 0}\\
{{{\log }_2}(x – 3)(x – 2) \le {{\log }_2}2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3}\\
{{x^2} – 5x + 6 \le 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3}\\
{1 \le x \le 4}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 3 < x \le 4.$

Vấn đề 3: Phương pháp đặt ẩn số phụ.

1. PHƯƠNG PHÁP:
Nếu đặt $t = {\log _a}x$ thì ${\log _{\frac{1}{a}}}x = – t$, ${\log _{{a^2}}}x = \frac{1}{2}t$, $\log _a^2x = {t^2}$ ….

2. VÍ DỤ:
Ví dụ: Giải bất phương trình: ${\log _2}\left( {{2^x} – 1} \right) \cdot {\log _2}\left( {{2^{x + 1}} – 2} \right) < 2.$

Giải:

Ta có: ${\log _2}\left( {{2^x} – 1} \right).{\log _2}\left( {{2^{x + 1}} – 2} \right) < 2$ $ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x} – 1} \right).\left[ {{{\log }_2}\left( {{2^x} – 1} \right) + {{\log }_2}2} \right] < 2$ $(1).$
Đặt $t = {\log _2}\left( {{2^x} – 1} \right).$
$(1)$ trở thành: $t(t + 1) < 2$ $ \Leftrightarrow {t^2} + t – 2 < 0$ $ \Leftrightarrow – 2 < t < 1$ $ \Leftrightarrow – 2 < {\log _2}\left( {{2^x} – 1} \right) < 1$ $ \Leftrightarrow {2^{ – 2}} < {2^x} – 1 < {2^1}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{4} + 1 < {2^x} < 2$ $ \Leftrightarrow \frac{5}{4} < {2^x} < 2$ $ \Leftrightarrow {\log _2}\frac{5}{4} < x < {\log _2}2$ $ \Leftrightarrow {\log _2}5 – 2 < x < 1.$

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Phần bài tập được đính kèm ở file ảnh bên dưới. [Hình ảnh bài tập]