Tìm Giới Hạn Dãy Số Bằng Định Nghĩa - Đại Số Và Giải Tích 11

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa, giúp học sinh lớp 11 học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4: giới hạn.

I. PHƯƠNG PHÁP

• Để chứng minh $\lim {u_n} = 0$ ta chứng minh với mọi số $a >0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại một số ${n_a}$ sao cho $\left| {{u_n}} \right| < a$, $\forall n > {n_a}.$
• Để chứng minh $\lim {u_n} = l$ ta chứng minh $\lim \left( {{u_n} – l} \right) = 0.$
• Để chứng minh $\lim {u_n} = + \infty $ ta chứng minh với mọi số $M > 0$ lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên ${n_M}$ sao cho ${u_n} > M$, $\forall n > {n_M}.$
• Để chứng minh $\lim {u_n} = – \infty $ ta chứng minh $\lim \left( { – {u_n}} \right) = + \infty .$
• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

1. $\lim \frac{{n + 2}}{{n + 1}} = 1.$
2. $\lim \frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2}.$
3. $\lim \frac{{1 – 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} = – 2.$

Lời giải:

1. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > \frac{1}{a} – 1$, ta có: $\left| {\frac{{n + 2}}{{n + 1}} – 1} \right| = \frac{1}{{n + 1}}$ $ < \frac{1}{{{n_a} + 1}} < a$ với $\forall n > {n_a}.$
   Suy ra $\lim \left| {\frac{{n + 2}}{{n + 1}} – 1} \right| = 0$ $ \Rightarrow \lim \frac{{n + 2}}{{n + 1}} = 1.$
2. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > \sqrt {\frac{3}{a} – 1} $, ta có:
   $\left| {\frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} – \frac{1}{2}} \right| = \frac{3}{{{n^2} + 1}}$ $ < \frac{3}{{n_a^2 + 1}} < a$ với $\forall n > {n_a}.$
   Suy ra $\lim \left| {\frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} – \frac{1}{2}} \right| = 0$ $ \Rightarrow \lim \frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2}.$
3. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > \sqrt {\frac{9}{{{a^2}}} – 1} $, ta có:
   $\left| {\frac{{1 – 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} + 2} \right|$ $ = \left| {\frac{{1 – 2n + 2\sqrt {{n^2} + 1} }}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}} \right|$ $ < \left| {\frac{{1 – 2n + 2(n + 1)}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}} \right|$ $ = \frac{3}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}$ $ < \frac{3}{{\sqrt {n_a^2 + 1} }} < a$ với $\forall n > {n_a}.$
   Suy ra $\lim \left| {\frac{{1 – 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} + 2} \right| = 0$ $ \Rightarrow \lim \frac{{1 – 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} = – 2.$

(Còn tiếp)