Tóm Tắt Lí Thuyết Giới Hạn Dãy Số Lớp 11 Chương 4
: Giới Hạn
Bài viết trình bày tóm tắt lí thuyết giới hạn dãy số trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4: giới hạn.
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa
Dãy số $(u_n)$ được gọi là có giới hạn bằng $0$ khi $n$ tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: $\lim u_n = 0.$
Hay là: $\lim u_n = 0$ khi và chỉ khi với mọi $ε > 0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên $n_0$ sao cho: $|u_n| < ε$, $∀n > n_0.$
$\lim u_n = a$ $⇔ \lim (u_n – a) = 0$, tức là: Với mọi $ε > 0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên $n_0$ sao cho $|u_n – a| < ε$, $∀n > n_0.$
Dãy số $(u_n)$ có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
2. Một số giới hạn đặc biệt
- $\lim \frac{1}{{n^k}} = 0$ với $k ∈ N^*.$
- Nếu $|q| < 1$ thì $\lim q^n = 0.$
- Nếu $u_n = c$ (với $c$ là hằng số) thì $\lim u_n = \lim c = c.$
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN
1. Định lí 1: Nếu dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $|u_n| < v_n$ kể từ số hạng nào đó trở đi và $\lim v_n = 0$ thì $\lim u_n = 0.$
2. Định lí 2: Cho $\lim u_n = a$, $\lim v_n = b.$ Ta có:
- $\lim (u_n + v_n) = a + b.$
- $\lim (u_n – v_n) = a – b.$
- $\lim (u_n.v_n) = a.b.$
- $\lim \frac{{u_n}}{{v_n}} = \frac{a}{b}$ $(b ≠ 0).$
- Nếu $u_n ≥ 0$ với mọi $n$ thì $\lim \sqrt {u_n} = \sqrt a .$
III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cho cấp số nhân $(u_n)$ có công bội $q$ thỏa $|q| < 1.$ Khi đó tổng $S = u_1 + u_2 + … + u_n + …$ gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và $S = \lim S_n$ $= \lim \frac{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}{{1 – q}}$ $ = \frac{{u_1}}{{1 – q}}.$
IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Định nghĩa
- $\lim u_n = + ∞$ $⇔$ với mỗi số dương tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
- $\lim u_n = – ∞$ $⇔ \lim (– u_n) = + ∞.$
2. Một số kết quả đặc biệt
- $\lim n^k = + ∞$ với mọi $k > 0.$
- $\lim q^n = + ∞$ với mọi $q > 1.$
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
- Quy tắc 1: Nếu $\lim u_n = ± ∞$, $\lim v_n = ± ∞$ thì $\lim (u_n v_n)$ được cho như sau:
$\lim u_n$
$\lim v_n$
$\lim (u_n v_n)$
$+ ∞$
$+ ∞$
$+ ∞$
$+ ∞$
$– ∞$
$– ∞$
$– ∞$
$+ ∞$
$– ∞$
$– ∞$
$– ∞$
$+ ∞$
- Quy tắc 2: Nếu $\lim u_n = ± ∞$ và $\lim v_n = L ≠ 0$ thì $\lim (u_n v_n)$ được cho như sau:
$\lim u_n$
Dấu của $L$
$\lim (u_n v_n)$
$+ ∞$
$+$
$+ ∞$
$+ ∞$
$-$
$- ∞$
$- ∞$
$+$
$- ∞$
$- ∞$
$-$
$+ ∞$
- Quy tắc 3: Nếu $\lim u_n = L ≠ 0$, $\lim v_n = 0$ và $v_n > 0$ hoặc $v_n < 0$ kể từ một số hạng nào đó trở đi thì $\lim \frac{u_n}{v_n}$ được cho như sau:
Dấu của $L$
Dấu của $v_n$
$\lim \frac{u_n}{v_n}$
$+$
$+$
$+ ∞$
$+$
$-$
$- ∞$
$-$
$+$
$- ∞$
$-$
$-$
$+ ∞$
