Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm tập xác định của hàm số lượng giác, đây là dạng toán cơ bản mà học sinh cần nắm vững trước khi tìm hiểu các phương pháp giải phương trình lượng giác.

PHƯƠNG PHÁP: Để tìm tìm tập xác định của hàm số lượng giác, ta sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1: Tìm tập $D$ của $x$ để $f\left( x \right)$ có nghĩa, tức là tìm ${\rm{D}} = \left\{ {x \in R\left| {f\left( x \right) \in R} \right.} \right\}.$
Cách 2: Tìm tập $E$ của $x$ để $f\left( x \right)$ không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = R\backslash E.$

CHÚ Ý:
A. Với hàm số $f\left( x \right)$ cho bởi biểu thức đại số thì ta có:
1. $f\left( x \right) = \frac{{{f_1}\left( x \right)}}{{{f_2}\left( x \right)}}$, điều kiện: ${f_1}\left( x \right)$ có nghĩa, ${f_2}\left( x \right)$ có nghĩa và ${f_2}\left( x \right) e 0$.
2. $f\left( x \right) = \sqrt[{2m}]{{{f_1}\left( x \right)}},\left( {m \in N} \right)$, điều kiện: ${f_1}\left( x \right)$ có nghĩa và ${f_1}\left( x \right) \ge 0.$
3. $f\left( x \right) = \frac{{{f_1}\left( x \right)}}{{\sqrt[{2m}]{{{f_2}\left( x \right)}}}},\left( {m \in N} \right)$, điều kiện: ${f_1}\left( x \right), {f_2}\left( x \right)$ có nghĩa và ${f_2}\left( x \right) > 0.$
B. Hàm số $y = \sin x;y = \cos x$ xác định trên $R$, như vậy:
1. $y = \sin \left[ {u\left( x \right)} \right]$; $y = \cos \left[ {u\left( x \right)} \right]$ xác định khi và chỉ khi $u\left( x \right)$ xác định.
2. $y = \tan \left[ {u\left( x \right)} \right]$ có nghĩa khi và chỉ khi $u\left( x \right)$ xác định và $u\left( x \right) e \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z.$
3. $y = \cot \left[ {u\left( x \right)} \right]$ có nghĩa khi và chỉ khi $u\left( x \right)$ xác định và $u\left( x \right) e + k\pi ;k \in Z.$

Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau:
1. Hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ xác định trên $R.$
2. Hàm số $y = \tan x$ xác định trên $R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in Z} \right.} \right\}.$
3. Hàm số $y = \cot x$ xác định trên $R\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in Z} \right.} \right\}.$

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{2\cos x – 1}}.$

Hàm số đã cho xác định khi $2\cos x – 1 e 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos x e \cos \frac{\pi }{3}\\
\cos x e \cos \frac{{5\pi }}{3}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x e \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x e \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.$ $k \in Z.$

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{{\cot x}}{{\sin x – 1}}.$

Hàm số đã cho xác định khi:
+ $\cot x$ xác định $ \Leftrightarrow \sin x e 0.$
+ $\sin x – 1 e 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin x e 0\\
\sin x e 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x e k\pi \\
x e \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.$ $(k \in Z).$

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của hàm số $y = 2016{\tan ^{2017}}2x.$

Ta có $y = 2016{\tan ^{2017}}2x$ $ = 2016.{\left( {\tan 2x} \right)^{2017}}.$
2017 là một số nguyên dương, do vậy hàm số đã cho xác định khi $\tan 2x$ xác định $ \Leftrightarrow 2x e \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in Z$ $ \Leftrightarrow x e \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\,k \in Z.$

**Dạng toán chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm số lượng giác
**Khi giải dạng toán này, ta cần lưu ý: Với $S \subset {D_f}$ ($D_f$ là tập xác định của hàm số $f(x)$) thì:
+ ${\rm{ }}f\left( x \right) \le m,\forall x \in S$ $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_S f\left( x \right) \le m$
+ $f\left( x \right) \ge m,\forall x \in S$ $ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_S f\left( x \right) \ge m$
+ $\exists {x_0} \in S,f\left( {{x_0}} \right) \le m$ $ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_S f\left( x \right) \le m$
+ $\exists {x_0} \in S,f\left( {{x_0}} \right) \ge m$ $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_S f\left( x \right) \ge m$

Ví dụ 4: Cho hàm số $h\left( x \right) $ $= \sqrt {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 2m\sin x.\cos x} $. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số xác định với mọi số thực $x$ (trên toàn trục số).

Xét hàm số $g\left( x \right) $ $= {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} – m\sin 2x$
$ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2}$ $ – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x – m\sin 2x$
$ = 1 – \frac{1}{2}{\sin ^2}2x – m\sin 2x .$
Đặt $t = \sin 2x$ $ \Rightarrow t \in \left[ { – 1;1} \right]$.
Hàm số $h\left( x \right)$ xác định với mọi $x \in R$ $ \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{2}{t^2} – mt + 1 \ge 0$ $\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]$ $ \Leftrightarrow {t^2} + 2mt – 2 \le 0$ $\forall t \in \left[ { – 1;1} \right].$
Đặt $f\left( t \right) = {t^2} + 2mt – 2$ trên $\left[ { – 1;1} \right].$
Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị dưới đây:

Ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right)$ hoặc $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( { – 1} \right).$
Do đó: $f\left( t \right) = {t^2} + 2mt – 2 \le 0$ $\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]$ $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) \le 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) \le 0\\
f\left( { – 1} \right) \le 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
– 1 + 2m \le 0\\
– 1 – 2m \le 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{2} \le m \le \frac{1}{2}.$

Ví dụ 5: Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{{3x}}{{\sqrt {2{{\sin }^2}x – m\sin x + 1} }}$ xác định trên $R.$

Hàm số xác định trên $R$ khi và chỉ khi $2{\sin ^2}x – m\sin x + 1 > 0$ $\forall x \in R.$
Đặt $t = \sin x$ $ \Rightarrow t \in \left[ { – 1;1} \right].$ Lúc này ta đi tìm điều kiện của $m$ để $f\left( t \right) = 2{t^2} – mt + 1 > 0$ $\forall t \in \left[ { – 1;1} \right].$
Ta có ${\Delta _t} = {m^2} – 8.$
+ Trường hợp 1: ${\Delta _t} < 0 \Leftrightarrow {m^2} – 8 < 0$ $ \Leftrightarrow – 2\sqrt 2 < m < 2\sqrt 2 .$ Khi đó $f\left( t \right) > 0$ $\forall t$ (thỏa mãn).
+ Trường hợp 2: ${\Delta _t} = 0 \Leftrightarrow {m^2} – 8 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = – 2\sqrt 2 \\
m = 2\sqrt 2
\end{array} \right.$ (thử lại thì cả hai trường hợp đều không thỏa mãn).
+ Trường hợp 3: ${\Delta _t} > 0 \Leftrightarrow {m^2} – 8 > 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < – 2\sqrt 2 \\
m > 2\sqrt 2
\end{array} \right.$ khi đó tam thức $f\left( t \right) = 2{t^2} – mt + 1$ có hai nghiệm phân biệt ${t_1}; {t_2} \left( {{t_1} < {t_2}} \right).$
Để $f\left( t \right) > 0,\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]$ thì: $\left[ \begin{array}{l}
{t_1} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{m – \sqrt {{m^2} – 8} }}{4} \ge 1\\
{t_2} \le – 1 \Leftrightarrow \frac{{m + \sqrt {{m^2} – 8} }}{4} \le – 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {{m^2} – 8} \ge m – 4\left( {VN} \right)\\
\sqrt {{m^2} – 8} \le – m – 4\left( {VN} \right)
\end{array} \right.$
Vậy $m \in \left( { – 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.