Tìm Giới Hạn Của Dãy Số

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11.

I. PHƯƠNG PHÁP

Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

Khi tìm $\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}$ ta thường chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, trong đó $k$ là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
Khi tìm $\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} – \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]$ trong đó $\lim f(n) = \lim g(n) = + \infty $ ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau:

$A = \lim \frac{{n\sqrt {1 + 3 + 5 + \ldots + (2n – 1)} }}{{2{n^2} + 1}}.$
$B = \lim \frac{{\sqrt {1 + 2 + \ldots + n} – n}}{{\sqrt[3]{{{1^2} + {2^2} + \ldots + {n^2}}} + 2n}}.$

Lời giải:

Ta có: $1 + 3 + 5 + \ldots + 2n – 1 = {n^2}.$
Suy ra $A = \lim \frac{{{n^2}}}{{2{n^2} + 1}}$ $ = \lim \frac{1}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{2}.$
Ta có: $1 + 2 + \ldots + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}.$
${1^2} + {2^2} + \ldots + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}.$
Suy ra: $B = \lim \frac{{\sqrt {\frac{{n(n + 1)}}{2}} – n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}}} + 2n}}$ $ = \lim \frac{{\sqrt {\frac{{{n^2}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}{2}} – n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{{n^3}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}}{6}}} + 2n}}$ $ = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}} – 1}}{{\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}} + 2}}.$

(Bài tập tương tự) Tìm các giới hạn sau:

$C = \lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right) \ldots \left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right].$
$D = \lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \ldots + \frac{1}{{n(n + 1)}}} \right].$
$E = \lim \frac{{{4^{n + 1}} – {5^{n + 1}}}}{{{4^n} + {5^n}}}.$

(Gợi ý)