Phương trình thuần nhất bậc ba đối với sinx và cosx

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình thuần nhất bậc ba đối với sinx và cosx.

I. PHƯƠNG PHÁP

---

Bài toán: Giải phương trình: $a{\sin ^3}x + b{\sin ^2}x\cos x + c\sin x{\cos ^2}x + d{\cos ^3}x = 0$ $(1).$
PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Thực hiện theo các bước:

• Bước 1: Với $\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$
  Khi đó phương trình $(1)$ có dạng $a = 0.$

• Nếu $a = 0$ thì $(1)$ nhận $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ làm nghiệm.

• Nếu $a
  e 0$ thì $(1)$ không nhận $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ làm nghiệm.

• Bước 2: Với $\cos x
  e 0$ $ \Leftrightarrow x
  e \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$
  Chia hai vế của phương trình $(1)$ cho ${\cos ^3}x
  e 0$, ta được:
  $a{\tan ^3}x + b{\tan ^2}x + c\tan x + d = 0.$
  Đặt $t = \tan x$, phương trình có dạng:
  $a{t^3} + b{t^2} + ct + d = 0$ $(2).$
  + Bước 3: Giải phương trình $(2)$ theo $t$ (tham khảo bài viết cách giải phương trình bậc 3 tổng quát).

Mở rộng: Phương pháp giải trên được mở rộng cho phương trình đẳng cấp bậc $n$ đối với sin và cos, đó là phương trình có dạng:
$\sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}} {\sin ^{n – k}}x{\cos ^k}x = 0.$

Tuy nhiên để linh hoạt, các em học sinh cần nhớ rằng vì ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ nên với các nhân tử có bậc $k$ cũng được coi là có bậc $k + 2l$, do vậy chúng ta có dạng mở rộng của phương trình thuần nhất bậc ba như sau:
$a{\sin ^3}x + b{\sin ^2}x\cos x + c\sin x{\cos ^2}x + d{\cos ^3}x + (e\sin x + f\cos x) = 0.$

Chú ý: Tồn tại những phương trình ở dạng ban đầu chưa phải là phương trình thuần nhất, khi đó cần thực hiện một vài phép biến đổi lượng giác thích hợp.