Phương trình lượng giác cơ bản
Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận các phương trình lượng giác cơ bản: $\sin x = m$, $\cos x = m$, $\tan x = m$, $cot x = m.$
1. Giải và biện luận phương trình lượng giác $\sin x = m$
Do $\sin x \in \left[ { – 1;1} \right]$ nên để giải phương trình $\sin x = m$ ta đi biện luận theo các bước sau:
• Bước 1: Nếu $|m| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Bước 2: Nếu $|m| ≤ 1$, ta xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $sin$ của góc đặc biệt, giả sử $\alpha $, khi đó phương trình sẽ có dạng: $\sin x = \sin \alpha $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi \\
x = \pi – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $sin$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \sin \alpha $. Ta có: $\sin x = \sin \alpha $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi \\
x = \pi – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
– \frac{\pi }{2} \le \alpha \le \frac{\pi }{2}\\
\sin \alpha = m
\end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = \arcsin m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .$
2. $\sin x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi .$
3. $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi .$
Ví dụ 1: Giải phương trình: $\sin (3x + \frac{\pi }{4}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Do $\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên: $\sin (3x + \frac{\pi }{4}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $ \Leftrightarrow \sin (3x + \frac{\pi }{4}) = \sin \frac{\pi }{3}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
3x + \frac{\pi }{4} = \pi – \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = – \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
3x = \pi – \frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\
x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\
x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right. (k \in Z).$
Ví dụ 2: Giải phương trình $\sin x = \frac{1}{4}.$
Ta nhận thấy $\frac{1}{4}$ không là giá trị của cung đặc biệt nào.
Ta có: $\sin x = \frac{1}{4}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi \\
x = \pi – \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có 2 họ ngiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi \\
x = \pi – \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
2. Giải và biện luận phương trình lượng giác $\cos x = m$
Ta biện luận phương trình $\cos x = m$ theo $m$:
• Bước 1: Nếu $\left| m \right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Bước 2: Nếu $\left| m \right| \le 1$, ta xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $cos$ của góc đặc biệt, giả sử góc $\alpha $, khi đó phương trình có dạng: $\cos x = \cos \alpha $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi \\
x = – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $cos$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \cos \alpha $, ta có: $\cos x = \cos \alpha $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi \\
x = – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
0 \le – \alpha \le \pi \\
\cos \alpha = m
\end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = \arccos m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi .$
2. $\cos x = – 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi .$
3. $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$
Ví dụ 3: Giải phương trình: $\cos x = – \frac{1}{2}.$
Do $ – \frac{1}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3}$ nên $\cos x = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi (k \in Z).$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm $x = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi (k \in Z).$
Ví dụ 4: Giải phương trình: $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1.$
Ta có: $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1$ $ \Leftrightarrow \cos (2x + \frac{\pi }{6}) = \frac{1}{3}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \frac{\pi }{6} = \arccos \frac{1}{3} + k2\pi \\
2x + \frac{\pi }{6} = – \arccos \frac{1}{3} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{ – \pi }}{{12}} + \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \\
x = \frac{{ – \pi }}{{12}} – \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{ – \pi }}{{12}} + \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \\
x = \frac{{ – \pi }}{{12}} – \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
3. Giải và biện luận phương trình lượng giác $\tan x = m$
• Bước 1: Đặt điều kiện $\cos x e 0$ $ \Leftrightarrow x e \frac{\pi }{2} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
• Bước 2: Xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $tan$ của góc đặc biệt, giả sử $\alpha $, khi đó phương trình có dạng: $\tan x = \tan \alpha $ $ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $ $(k \in Z).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $tan$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \tan \alpha $, ta được: $\tan x = \tan \alpha $ $ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
– \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}\\
\tan \alpha = m
\end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = \arctan m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
2. $\tan x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi .$
3. $\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi .$
Ví dụ 5: Giải phương trình $\tan x = \sqrt 3 .$
Do $\sqrt 3 = \tan \frac{\pi }{6}$ nên ta có: $\tan x = \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{6}$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right).$
Ví dụ 6: Giải phương trình $\tan (\frac{\pi }{5} – x) = 2.$
Điều kiện: $\cos (\frac{\pi }{5} – x) e 0$ $ \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} – x e \frac{\pi }{2} + k\pi $ $(k ∈ Z).$
Ta có: $\tan (\frac{\pi }{5} – x) = 2$ $ \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} – x = \arctan 2 + k\pi $ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{5} – \arctan 2 – k\pi $ $(k \in Z).$
Vậy phương trình có một họ nghiệm $ x = \frac{\pi }{5} – \arctan 2 – k\pi $ $(k \in Z).$
**4. Giải và biện luận phương trình lượng giác $\cot x = m$
**• Bước 1: Đặt điều kiện $\sin x e 0 \Leftrightarrow x e k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
• Bước 2: Xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $cot$ của góc đặc biệt, giả sử $\alpha $, khi đó phương trình có dạng: $\cot x = \cot \alpha $ $ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $cot$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \cot \alpha $ ta được: $\cot x = \cot \alpha $ $ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
– \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}\\
\cot \alpha = m
\end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = arccot m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\cot x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
2. $co{\mathop{\rm t} olimits} x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi .$
3. $\cot x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$
Ví dụ 7: Giải phương trình $\cot (\frac{\pi }{4} – x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$
Điều kiện $\cos (\frac{\pi }{4} – x) e 0$ $ \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} – x e k\pi $ $ \Leftrightarrow x e \frac{\pi }{4} – k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Ta có: $\cot (\frac{\pi }{4} – x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $⇔ \cot (\frac{\pi }{4} – x) = \cot \frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} – x = \frac{\pi }{3} + k\pi $ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{{12}} – k\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $ x = – \frac{\pi }{{12}} – k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Ví dụ 8: Giải phương trình $\cot (4x + {35^o}) = – 1.$
Điều kiện $4x + {35^o} e k{180^o}$ $(k ∈ Z).$
Ta có: $\cot (4x + {35^o}) = – 1$ $ \Leftrightarrow \cot (4x + {35^o}) = \cot ( – {45^o})$ $ \Leftrightarrow 4x + {35^o} = – {45^o} + k{180^o}$ $ \Leftrightarrow 4x = – {80^o} + k{180^o}$ $ \Leftrightarrow x = – {20^o} + k{45^o}$ $(k \in Z).$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $ x = – {20^o} + k{45^o}$ $(k \in Z).$
