Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.

I. PHƯƠNG PHÁP

Bài toán 1: Giải phương trình: $a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ $(1).$

PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

Ta biện luận theo các bước sau:

1. Bước 1: Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $ $ \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$

   Khi đó phương trình có dạng: $at + b\frac{{{t^2} – 1}}{2} + c = 0$ $ \Leftrightarrow b{t^2} + 2at + 2c – b = 0$ $(2).$

2. Bước 2: Giải $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện $|t| \le \sqrt 2 .$

   Với $t = {t_0}$, ta được: $\sin x + \cos x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}.$

   Đây là phương trình cơ bản của sin.

Chú ý: Ta có thể giải $(1)$ bằng cách đặt ẩn phụ $z = \frac{\pi }{4} – x$, khi đó ta có: $\sin x + \cos x$ $ = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)$ $ = \sqrt 2 \cos z.$ $\sin x\cos x$ $ = \frac{1}{2}\sin 2x$ $ = \frac{1}{2}\sin 2\left( {\frac{\pi }{4} – z} \right)$ $ = \frac{1}{2}\sin \left( {\frac{\pi }{2} – 2z} \right)$ $ = \frac{1}{2}\cos 2z$ $ = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}z – 1} \right).$ Vậy ta chuyển phương trình ban đầu về dạng phương trình bậc $2$ đối với $\cos z.$

Ví dụ 1: Giải phương trình: $\sin x + \cos x$ $ – 2\sin x\cos x + 1 = 0.$

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

• Cách 1: Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$

  Khi đó phương trình có dạng: $t – \left( {{t^2} – 1} \right) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = – 1}\\ {t = 2\:{\rm{(loại)}}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = – 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = – 1$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\ {x = \pi + 2k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

• Cách 2: Đặt $z = \frac{\pi }{4} – x$. Khi đó phương trình có dạng: $\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right) – \sin 2x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \sin 2\left( {\frac{\pi }{4} – z} \right) + 1 = 0.$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \sin \left( {\frac{\pi }{2} – 2z} \right) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \cos 2z + 1 = 0.$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \left( {2{{\cos }^2}z – 1} \right) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow – 2{\cos ^2}z + \sqrt 2 \cos z + 2 = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos z = \sqrt 2 \:{\rm{(loại)}}}\\ {\cos z = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {z = – \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }\\ {z = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{\pi }{4} – x = – \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }\\ {\frac{\pi }{4} – x = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi } \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – \frac{\pi }{2} – 2k\pi }\\ {x = \pi – 2k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$

  Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Chú ý: Tồn tại những phương trình ở dạng ban đầu chưa phải là phương trình đối xứng, khi đó cần thực hiện một vài phép biến đổi lượng giác thích hợp.

Bài toán 2: Giải phương trình: $a(\sin x – \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ $(1).$

PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

Ta biện luận theo các bước sau:

1. Bước 1: Đặt $\sin x – \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $ $ \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.$

   Khi đó phương trình có dạng: $at + b\frac{{1 – {t^2}}}{2} + c = 0$ $ \Leftrightarrow b{t^2} – 2at – 2c – b = 0$ $(2).$

2. Bước 2: Giải phương trình $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện: $|t| \le \sqrt 2 .$

   Với $t = {t_0}$, ta được: $\sin x + \cos x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}.$

   Đây là phương trình cơ bản của sin.

Chú ý: Cũng như trong bài toán 1, ta có thể giải phương trình nửa đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$ bằng cách đặt ẩn phụ $z = \frac{\pi }{4} – x.$

II. CÁC BÀI TOÁN THI

Bài 1: Giải phương trình: $\cos x + \frac{1}{{\cos x}}$ $ + \sin x + \frac{1}{{\sin x}} = \frac{{10}}{3}.$

Bài 2: (ĐHNT – 1998): Giải phương trình: $\sin x + {\sin ^2}x + {\sin ^3}x + {\sin ^4}x$ $ = \cos x + {\cos ^2}x + {\cos ^3}x + {\cos ^4}x.$

Bài 3: (ĐHSP TP HCM – ĐHL TP HCM): Tìm $m$ để phương trình: $2\cos 2x$ $ + (\sin x\cos x – m)(\sin x + \cos x) = 0$ $(1)$ có nghiệm trong khoảng $\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right].$

Bài 4: Giải và biện luận phương trình: $\frac{1}{{\cos x}} – \frac{1}{{\sin x}} = k.$

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tập 1. Giải các phương trình sau: a. $3(\sin x + \cos x) – 4\sin x\cos x = 0.$ b. $12(\sin x – \cos x) – 2\sin x\cos x – 12 = 0.$ c. $(1 + \cos x)(1 + \sin x) = 2.$

Bài tập 2. Giải các phương trình sau: a. $|\sin x – \cos x| + 4\sin 2x = 1.$ b. $|\sin x + \cos x| – \sin 2x = 0.$

Bài tập 3. (ĐHQG Hà Nội Khối B – 1997): Giải phương trình: $2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}.$

(Các bài tập từ 4 đến 13 cũng tương tự, bạn có thể tự làm để luyện tập thêm.)