Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

I. PHƯƠNG PHÁP

Bài toán: Giải và biện luận phương trình: $a\sin x + b\cos x = c$ $(1).$
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước:
+ Bước 1. Kiểm tra:

Nếu ${a^2} + {b^2} < {c^2}$ phương trình vô nghiệm.
Nếu ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$, khi đó để tìm nghiệm của phương trình $(1)$ ta thực hiện tiếp bước 2.
+ Bước 2. Chia hai vế phương trình $(1)$ cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $, ta được:
$\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x$ $ = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Vì ${\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1$ nên tồn tại góc $\beta $ sao cho $\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \beta $, $\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \beta .$
Khi đó phương trình $(1)$ có dạng:
$\sin x\cos \beta + \sin \beta \cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ $ \Leftrightarrow \sin (x + \beta ) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Đây là phương trình cơ bản của sin.

Cách 2: Thực theo các bước:
+ Bước 1. Với $\cos \frac{x}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = \pi + 2k\pi $, kiểm tra vào phương trình.
+ Bước 2. Với $\cos \frac{x}{2}
e 0$ $ \Leftrightarrow x
e \pi + 2k\pi $, đặt $t = \tan \frac{x}{2}$, suy ra:
$\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$ và $\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}.$
Khi đó phương trình $(1)$ có dạng:
$a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c$ $ \Leftrightarrow (c + b){t^2} – 2at + c – b = 0$ $(2).$
+ Bước 3. Giải phương trình $(2)$ theo $t.$

Cách 3: Với những yêu cầu biện luận số nghiệm của phương trình trong $(\alpha ,\beta )$, ta có thể lựa chọn phương pháp hàm số đồ thị.

Cách 4: Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phương trình trong $(\alpha ,\beta )$, ta có thể lựa chọn phương pháp điều kiện cần và đủ.

Nhận xét quan trọng:

Cách 1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo tham số.
Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập $D$ với $D \subset [0,2\pi ].$
Cách 3 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luận theo tham số để phương trình có $k$ nghiệm thuộc tập $D$ với $D \cap [0,2\pi ]
e \emptyset .$
Từ cách giải 1 ta có được kết quả sau:
$ – \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ $ \le a\sin x + b\cos x$ $ \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
Kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số dạng $y = a\sin x + b\cos x$, $y = \frac{{a\sin x + b\cos x}}{{c\sin x + d\cos x}}$ và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác.

Dạng đặc biệt:
+ $\sin x + \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$
+ $\sin x – \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$