Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC HAI

Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình: $a.{\sin ^2}x + b.\sin x + c = 0$ $(1).$

PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Ta biện luận theo các bước sau:

Bước 1: Đặt $\sin x = t$, điều kiện $|t| \le 1$, khi đó phương trình có dạng: $f(t) = a.{t^2} + b.t + c = 0$ $(2).$
Bước 2: Xét tuỳ theo yêu cầu của bài toán:
1. Nếu bài toán yêu cầu giải phương trình thì ta giải phương trình $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện $|t| \le 1.$
2. Nếu bài toán yêu cầu giải và biện luận phương trình theo tham số thì ta giải và biện luận phương trình $(2)$ theo $t$, điều kiện $|t| \le 1$, cụ thể:
  - Ta tính các biểu thức: $\Delta $, $af(1)$, $af( -1)$, $\frac{S}{2} – 1$, $\frac{S}{2} + 1.$
  - Lập bảng tổng kết (xem chi tiết trong tài liệu đầy đủ).
3. Nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm.
  - Trường hợp 1: $a = 0$, thử vào phương trình $ \Rightarrow $ kết luận.
  - Trường hợp 2: $a \

e 0.$ $ \Leftrightarrow $ phương trình $(2)$ có nghiệm thoả mãn $|t| \le 1$ (xem chi tiết trong tài liệu đầy đủ). 4. Nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị của tham số để phương trình có $k$ nghiệm thuộc $(\alpha ,\beta ).$ * Trường hợp 1: Nếu $a = 0$, thử vào phương trình $ \Rightarrow $ kết luận. * Trường hợp 2: Nếu $a
e 0.$ Vì $x \in (\alpha ,\beta )$ $ \Leftrightarrow t \in \left( {{\alpha _t},{\beta _t}} \right).$ Từ đó dựa vào tính chất nghiệm của phương trình $\sin x = \sin \gamma $ và đường tròn đơn vị biểu diễn khoảng $(\alpha ,\beta )$, ta có được điều kiện cần và đủ cho phương trình $(2).$

Chú ý:

Với các yêu cầu 3, 4 ta ưu tiên việc lựa chọn phương pháp hàm số để giải phương trình.
Phương pháp trên cũng được sử dụng để giải và biện luận phương trình: $a.{\cos ^2}x + b.\cos x + c = 0.$
Thông thường phương trình ban đầu chưa phải phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác, khi đó ta cần thực hiện một vài phép biến đổi lượng giác dựa trên nguyên tắc:
- Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một hàm
- Nếu phương trình chứa các hàm lượng giác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa các hàm lượng giác của một cung.

Ví dụ: (Xem chi tiết trong tài liệu đầy đủ)

Bài toán 2: Giải và biện luận phương trình: $a.{\tan ^2}x + b.\tan x + c = 0$ $(1).$

PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Ta biện luận theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện $\cos x
e 0$ $ \Leftrightarrow x
e \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$
Bước 2: Đặt $\tan x = t$, khi đó phương trình có dạng: $a.{t^2} + b.t + c = 0$ $\left( 2 \right).$
Bước 3: Giải và biện luận phương trình $(2)$ theo $t.$

Chú ý:

Phương pháp trên được sử dụng để giải và biện luận phương trình: $a.{\cot ^2}x + b. \cot x + c = 0$ với điều kiện $\sin x
e 0 \Leftrightarrow x
e k\pi $, $k \in Z.$
Ưu tiên lựa chọn phương pháp hàm số để giải.

Ví dụ: (Xem chi tiết trong tài liệu đầy đủ)