Phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác

Bài viết hướng dẫn một số phương pháp giải phương trình lượng giác bậc cao đối với một hàm số lượng giác.

I. PHƯƠNG PHÁP

Bài toán: Giải phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

1. Đối với phương trình bậc $3$: $a{t^3} + b{t^2} + ct + d = 0$ $(1).$
   Ta lựa chọn một trong ba hướng:

   • Hướng 1: Nếu xác định được nghiệm ${t_0}$ thì:
     $(1) \Leftrightarrow \left( {t – {t_0}} \right)\left( {a{t^2} + Bt + C} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
     {t = {t_0}}\\
     {a{t^2} + Bt + C = 0\:\left( 2 \right)}
     \end{array}} \right..$
     Khi đó việc giải $(1)$ được dẫn về việc giải $(2).$
   • Hướng 2: Sử dụng phương pháp hằng số biến thiên.
   • Hướng 3: Sử dụng phương pháp hàm số đồ thị.

2. Đối với phương trình bậc $4$: $a{t^4} + b{t^3} + c{t^2} + dt + e = 0$ $(3).$
   Ta lựa chọn một trong bốn hướng:

   • Hướng 1: Nếu xác định được nghiệm ${t_0}$ thì:
     $(3) \Leftrightarrow $ $\left( {t – {t_0}} \right)\left( {a{t^3} + B{t^2} + Ct + D} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
     {t = {t_0}}\\
     {a{t^3} + B{t^2} + Ct + D = 0\:(4)}
     \end{array}} \right..$
     Khi đó việc giải $(3)$ được dẫn về việc giải $(4).$
   • Hướng 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
   • Hướng 3: Sử dụng phương pháp hằng số biến thiên.
   • Hướng 4: Sử dụng phương pháp hàm số đồ thị.

Ví dụ 1: (Đại học Thái Nguyên – 1997): Giải phương trình:
$4{\cos ^2}x – \cos 3x$ $ = 6\cos x + 2(1 + \cos 2x).$

Giải:

Biến đổi phương trình về dạng:
$4{\cos ^2}x – \left( {4{{\cos }^3}x – 3\cos x} \right)$ $ = 6\cos x + 4{\cos ^2}x.$
$ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x + 3\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {4{{\cos }^2}x + 3} \right)\cos x = 0.$
$ \Leftrightarrow \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.

(Bài viết tiếp tục với các ví dụ và bài tập khác. Do giới hạn số lượng từ, bạn có thể cung cấp thêm nội dung hoặc yêu cầu viết tiếp cho các phần còn lại)