Lý thuyết và bài tập mặt trụ, hình trụ và khối trụ lớp 12

Bài viết trình bày lý thuyết trọng tâm và hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán mặt trụ, hình trụ và khối trụ trong chương trình Hình học 12.

A. TÓM TẮT KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA

I. TRỤC CỦA ĐƯỜNG TRÒN
1. Định nghĩa: Trục của đường tròn $(O;R)$ là đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn đó.

2. Nhận xét: Khi điểm $M$ không nằm trên đường thẳng $\Delta $ thì có một đường tròn duy nhất đi qua $M$ và có trục là $\Delta $, ta kí hiệu đường tròn đó là $(C_M).$

II. HÌNH TRÒN XOAY – MẶT TRÒN XOAY
1. Định nghĩa: Trong không gian, cho hình $H$ và đường thẳng $\Delta $. Hình gồm tất cả các đường tròn $(C_M)$ với $M$ thuộc $H$ được gọi là hình tròn xoay sinh bởi $H$ khi quay quanh $\Delta $. Đường thẳng $\Delta $ gọi là trục của hình tròn xoay đó. Khi hình $H$ là một đường cong thì hình tròn xoay sinh bởi nó được gọi là mặt tròn xoay.

2. Ví dụ:

Nếu hình $H$ là đường tròn có đường kính $AB$ nằm trên đường thẳng $\Delta $ thì hình tròn xoay sinh bởi $H$ khi quay quanh $\Delta $ là mặt cầu đường kính $AB.$
Nếu $H$ là hình tròn có đường kính $AB$ nằm trên đường thẳng $\Delta $ thì hình tròn xoay sinh bởi $H$ khi quay quanh $\Delta $ là khối cầu đường kính $AB.$

III. MẶT TRỤ
1. Định nghĩa: Cho đường thẳng $\Delta .$ Xét một đường thẳng $l//\Delta $ sao cho $d(l;\Delta ) = R.$ Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng $l$ khi quay quanh $\Delta $ được gọi là mặt trụ tròn xoay $(T).$ $\Delta $ gọi là trục của mặt trụ $(T)$, $l$ gọi là đường sinh của mặt trụ $(T)$, $R$ gọi là bán kính của mặt trụ $(T).$

2. Tính chất
Mặt trụ $(T)$ là tập hợp các điểm $M$ cách đường thẳng $\Delta $ cố định một khoảng bằng $R$ không đổi.
Nếu $M_1$ là một điểm bất kì nằm trên mặt trụ thì đường thẳng $l_1$ đi qua $M_1$ và song song với $\Delta $ sẽ nằm trên mặt trụ đó.
Cho mặt trụ $(T)$ và mặt phẳng $(P).$ Khi đó:
– Nếu $(P) \bot \Delta $ thì $(P) \cap (T) = C(I;R).$
– Nếu $(P)//\Delta $ $d((P);\Delta ) = h$ thì:
+ Nếu $h < R$: $(P)$ cắt $(T)$ theo hai đường sinh.
+ Nếu $h = R$: $(P)$ tiếp xúc $(T)$, $(P)$ được gọi là tiếp diện của mặt trụ $(T).$
+ Nếu $h > R$: $(P) \cap (T) = \emptyset .$

IV. HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY
Cắt mặt trụ $(T)$ trục $\Delta $, bán kính $R$ bởi hai mặt phẳng phân biệt $(P)$ và $(P’)$ cùng vuông góc với $\Delta $, ta được giao tuyến là hai đường tròn $(C)$ và $(C’).$

1. Định nghĩa: Phần mặt trụ $(T)$ nằm giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(P’)$ cùng với hai hình tròn xác định bởi $(C)$ và $(C’)$ được gọi là hình trụ.
Khi đó: hai đường tròn $(C)$ và $(C’)$ gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ, $OO’$ gọi là trục hình trụ, độ dài $OO’$ gọi là chiều cao của hình trụ, phần mặt trụ giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

2. Khối trụ: Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là khối trụ.

V. DIỆN TÍCH HÌNH TRỤ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRỤ
1. Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính $R$, chiều cao $h$ là: $S_{xq} = 2\pi Rh.$
2. Diện tích toàn phần hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy.
3. Thể tích $V$ của khối trụ tròn xoay có chiều cao $h$, bán kính mặt đáy $R$ là $V = \pi {R^2}h.$

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

****VẤN ĐỀ 1. XÁC ĐỊNH MẶT TRỤ
**1. PHƯƠNG PHÁP
Lưu ý kết quả sau: Nếu một điểm $M$ di động trong không gian có hình chiếu vuông góc $M’$ trên $(\alpha )$ di động trên đường tròn $(C)$ cố định thì $M$ thuộc mặt trụ cố định $(T)$ chứa $(C)$ và có trục vuông góc với $(\alpha ).$

****VẤN ĐỀ 2. DIỆN TÍCH XUNG QUANH HÌNH TRỤ – THỂ TÍCH KHỐI TRỤ

PHƯƠNG PHÁP**
Dùng các công thức sau đây:

$S_{xq} = 2\pi Rh.$
$S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy}.$
$V = \pi R2h.$
Nhận xét:
Hình trụ nội tiếp (ngoại tiếp) hình lăng trụ là hình trụ có hai đáy là hai đường tròn nội tiếp (ngoại tiếp) hai đa giác đáy của hình lăng trụ.
Mặt cầu ngoại tiếp một hình trụ là mặt cầu chứa hai đường tròn đáy của hình trụ.
Mặt cầu nội tiếp một hình trụ là mặt cầu tiếp xúc với hai đáy và tất cả các đường sinh của hình trụ.

**VẤN ĐỀ 3. THIẾT DIỆN CỦA HÌNH TRỤ CẮT BỞI MỘT MẶT PHẲNG
1. PHƯƠNG PHÁP
a) Các thiết diện qua trục của một hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau.
b) Thiết diện vuông góc với trục của một hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy.
c) Nếu một điểm $M$ di động trong không gian có hình chiếu $M’$ lên một mặt phẳng $(\alpha )$ di động trên một đường tròn $(C)$ cố định thì $M$ thuộc mặt trụ cố định $(T)$ chứa $(C)$ và có trục vuông góc với $(\alpha ).$