Lý thuyết và bài tập mặt cầu - khối cầu lớp 12

Bài viết trình bày lý thuyết và hướng dẫn phương pháp giải các dạng bài tập mặt cầu – khối cầu trong chương trình Hình học 12.

A. TÓM TẮT KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA

I. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
1. Định nghĩa 1: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm $O$ cố định một khoảng $R$ không đổi được gọi là mặt cầu có tâm là $O$ và bán kính bằng $R$, kí hiệu là $S(O;R).$
Như vậy: Mặt cầu $S(O;R) = \{ M|OM = R\} .$

2. Vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu: Cho điểm $A$ và mặt cầu $S(O;R).$ Ta có:

Điểm $A$ thuộc mặt cầu $ \Leftrightarrow OA = R.$
Điểm $A$ nằm trong mặt cầu $ \Leftrightarrow OA < R.$
Điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $ \Leftrightarrow OA > R.$

3. Định nghĩa 2: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu $S(O;R)$ cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu $S(O;R).$
Như vậy: Khối cầu $S(O;R) = \{ M|OM \le R\} .$

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu $S(O;R)$ và mặt phẳng $(P)$, gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ tới $(P)$ và $H$ là hình chiếu của $O$ trên $(P).$ Ta có:

Nếu $d < R$ thì $(P)$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ theo giao tuyến là đường tròn nằm trên $(P)$ có tâm $H$ và có bán kính $r = \sqrt {{R^2} – {d^2}} .$

Trường hợp đặc biệt:
Khi $d = 0$ thì $(P)$ đi qua tâm $O$ của mặt cầu. Mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng kính, giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn có bán kính $R$, đường tròn đó gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.

Nếu $d = R$ thì $(P)$ và mặt cầu có một điểm chung duy nhất là $H.$ Khi đó ta nói $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $H$, hoặc ta nói $(P)$ là tiếp diện của mặt cầu tại điểm $H.$ Điểm $H$ gọi là tiếp điểm của $(P)$ và mặt cầu.
Nếu $d > R$ thì $(P)$ và mặt cầu $S(O;R)$ không có điểm chung.

2. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện $H$ gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện $H$ và hình đa diện $H$ gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Cho mặt cầu $S(O;R)$ và đường thẳng $\Delta .$ Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $\Delta $ và $d = OH$ là khoảng cách từ $O$ tới $\Delta .$

Nếu $d < R$ thì $\Delta $ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
Nếu $d = R$ thì $\Delta $ và mặt cầu có một điểm chung duy nhất $H.$ Khi đó ta nói đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $H$, hoặc ta nói $\Delta $ là tiếp tuyến của mặt cầu tại $H.$ Điểm $H$ gọi là tiếp điểm của $\Delta $ và mặt cầu.
Nếu $d > R$ thì $\Delta $ và mặt cầu không có điểm chung.

IV. DIỆN TÍCH MẶT CẦU – THỂ TÍCH KHỐI CẦU
1. Mặt cầu bán kính $R$ có diện tích là: $S = 4\pi {R^2}.$
2. Khối cầu bán kính $R$ có thể tích là: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.$

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN MẶT CẦU – KHỐI CẦU

**VẤN ĐỀ 1. XÁC ĐỊNH MẶT CẦU
1. PHƯƠNG PHÁP

Muốn chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một mặt cầu ta chứng minh các điểm đó cùng cách đều một điểm $O$ cố định một khoảng $R > 0$ không đổi.
Muốn chứng minh một đường thẳng $D$ tiếp xúc với một mặt cầu $S(O;R)$, ta chứng minh $d(O;D) = R.$
Muốn chứng minh một mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với một mặt cầu $S(O;R)$, ta chứng minh $d(O;(P)) = R.$
Tập hợp các điểm $M$ trong không gian nhìn đoạn thẳng $AB$ cố định dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính $AB.$

**VẤN ĐỀ 2. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – NỘI TIẾP HÌNH CHÓP
1. PHƯƠNG PHÁP
a. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp. Khi đó ta nói hình chóp nội tiếp mặt cầu.
Điều kiện hình chóp nội tiếp mặt cầu: “Hình chóp nội tiếp được trong một mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác nội tiếp một đường tròn”.
Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hình chóp và mặt trung trực của một cạnh bên.
b. Mặt cầu nội tiếp hình chóp
Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp. Khi đó ta nói hình chóp ngoại tiếp mặt cầu.
Điều kiện mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu:
Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(O;R)$ tại điểm $H$ khi và chỉ khi $(P)$ vuông góc với bán kính $OH$ tại điểm $H$.
Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(O;R)$ $ \Leftrightarrow d(O;(P)) = R.$
Nếu một khối đa diện có hình cầu nội tiếp thì bán kính hình cầu nội tiếp là: $r = \frac{{3V}}{{{S_{tp}}}}$ với $V$: thể tích khối đa diện, ${S_{tp}}$: diện tích toàn phần hình đa diện.
Tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp cách đều tất cả các mặt của hình chóp.

**VẤN ĐỀ 3. DIỆN TÍCH MẶT CẦU – THỂ TÍCH KHỐI CẦU
1. PHƯƠNG PHÁP
Mặt cầu bán kính $R$ có diện tích là: $S = 4\pi {R^2}.$
Khối cầu bán kính $R$ có thể tích là: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.$

**VẤN ĐỀ 4. TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU
1. PHƯƠNG PHÁP

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc với mặt cầu $S(O;R)$ tại điểm $H$ là $\Delta $ vuông góc với bán kính $OH$ tại điểm $H.$
Đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc với mặt cầu $S(O;R)$ $ \Leftrightarrow d(O;\Delta ) = R.$
Trong trường hợp điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu thì:

Qua $A$ có vô số tiếp tuyến với mặt cầu, chúng nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại $A.$
Độ dài các đoạn thẳng nối $A$ với các tiếp điểm đều bằng nhau.
Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.