Loại Nghiệm Không Thích Hợp Khi Giải Phương Trình Lượng Giác

Bài viết hướng dẫn phương pháp loại bỏ các nghiệm không thích hợp (không thỏa mãn điều kiện, không thỏa mãn yêu cầu bài toán) khi giải phương trình lượng giác.

I. PHƯƠNG PHÁP

Bài toán: Loại nghiệm không thích hợp của phương trình lượng giác.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta thường gặp hai dạng toán sau:
Dạng 1: Tìm nghiệm thuộc $(a,b)$ của phương trình.
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.
+ Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm $x = \alpha + \frac{{2k\pi }}{n}$, $k,n \in Z.$
+ Bước 3: Tìm nghiệm thuộc $(a,b):$
$a < \alpha + \frac{{2k\pi }}{n} < b$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{k,n \in Z} \left( {{k_0},{n_0}} \right)$ $ \Rightarrow {x_0} = \alpha + \frac{{2{k_0}\pi }}{{{n_0}}}.$

Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình $x
e \beta + \frac{{2l\pi }}{n}$, $l,n \in Z.$
+ Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm ${x_0} = \alpha + \frac{{2k\pi }}{n}$, $k,n \in Z.$
+ Bước 3: Kiểm tra điều kiện ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:
Phương pháp đại số:
Nghiệm ${x_0}$ bị loại khi và chỉ khi:
$\alpha + \frac{{2k\pi }}{n} = \beta + \frac{{2l\pi }}{n}.$
Nghiệm ${x_0}$ chấp nhận được khi và chỉ khi:
$\alpha + \frac{{2k\pi }}{n}
e \beta + \frac{{2l\pi }}{n}.$
Phương pháp hình học:
Biểu diễn các điểm $x = \beta + \frac{{2l\pi }}{n}$, $l,n \in Z$ trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các điểm $C = \left\{ {{C_1}, \ldots ,{C_p}} \right\}.$
Biểu diễn các điểm $x = \alpha + \frac{{2k\pi }}{n}$, $k,n \in Z$ trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các điểm $D = \left\{ {{D_1}, \ldots ,{D_q}} \right\}.$
Lấy tập $E = D\backslash C = \left\{ {{E_1}, \ldots ,{E_r}} \right\}$, từ đó kết luận nghiệm của phương trình là:
$x = {E_1} + 2k\pi $, …, $x = {E_r} + 2k\pi $, $k \in Z.$