Hướng dẫn giải một số dạng bài tập về phép toán logarit

Bài viết trình bày định nghĩa, tính chất và phương pháp giải một số dạng bài tập thường gặp về phép toán logarit trong chương trình Giải tích 12.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa: Cho $a>0$, $a
e 1$ và $b > 0.$
Ta gọi: Số $\alpha $ là logarit theo cơ số $a$ của số $b$ nếu ${a^\alpha } = b.$ Kí hiệu: ${\log _a}b = \alpha .$
Vậy ${\log _a}b = \alpha \Leftrightarrow {a^\alpha } = b.$
Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra:
${\log _a}1 = 0$, ${\log _a}a = 1.$
${\log _a}\left( {{a^\alpha }} \right) = \alpha $ và ${a^{{{\log }_a}b}} = b.$

2. Tính chất:
2.1. So sánh hai logarit cùng cơ số:
Cho $b, c > 0$, ta có:
+ Khi $a > 1$: ${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c.$
+ Khi $0 < a < 1$: ${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c.$
Cho $0 < a
e 1$ và $b,c > 0$:
+ ${\log _a}b > 0$ $ \Leftrightarrow $ $a$ và $b$ cùng lớn hơn $1$ hay cùng nhỏ hơn $1.$
+ ${\log _a}b < 0$ $ \Leftrightarrow a < 1 < b$ hay $b < 1 < a.$

2.2. Các quy tắc tính logarit:
Cho $0 < a
e 1$ và $b,c > 0$. Ta có:
a) ${\log _a}(b.c) = {\log _a}b + {\log _a}c.$
b) ${\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = {\log _a}b – {\log _a}c.$ Đặc biệt ${\log _a}\frac{1}{b} = – {\log _a}b.$
c) ${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b.$ Đặc biệt ${\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b$ $\left( {n \in {Z^ + }} \right).$

2.3. Đổi cơ số của logarit:
Với $0 < a,b
e 1$ và $c > 0$ và $\alpha
e 0.$
${\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}$ hay ${\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c.$
${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$ hay ${\log _a}b.{\log _b}a = 1.$
${\log _{{a^n}}}{c^m} = \frac{m}{n}{\log _a}c.$

Chú ý:
+ Khi $a = 10$ thì ${\log _{10}}x$ gọi là logarit thập phân, ký hiệu là $\log x$ (hoặc $\lg x$).
+ Khi $a = e$ thì ${\log _e}x$ gọi là logarit tự nhiên (hay logarit nê-pe), ký hiệu là $\ln x.$
+ Nếu $x = {10^n}$ thì $\log x = n.$
+ Với $x \ge 1$ tùy ý ta có: $n \le \log x < n + 1$ $ \Rightarrow {10^n} \le x < {10^{n + 1}}.$
Suy ra: Nếu $n \le \log x < n + 1$ thì $x$ có $n+1$ chữ số.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dưới đây là một số dạng bài tập logarit thường gặp và phương pháp giải:

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa logarit.

Phương pháp:
- Sử dụng định nghĩa logarit: ${\log _a}b = \alpha \Leftrightarrow {a^\alpha } = b.$
- Áp dụng các tính chất của logarit như: logarit của 1, logarit của cơ số, logarit của tích, logarit của thương, logarit của lũy thừa...
- Sử dụng công thức đổi cơ số logarit.
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: $A = \log_{2}8 + \log_{3}\frac{1}{9}$.
- Ta có: $\log_{2}8 = \log_{2}2^3 = 3$ và $\log_{3}\frac{1}{9} = \log_{3}3^{-2} = -2$.
- Vậy $A = 3 + (-2) = 1$.

Dạng 2: So sánh các biểu thức chứa logarit.

Phương pháp:
- Sử dụng tính chất so sánh logarit cùng cơ số:
  - Nếu $a > 1$ thì ${\log _a}M > {\log _a}N \Leftrightarrow M > N > 0.$
  - Nếu $0 < a < 1$ thì ${\log _a}M > {\log _a}N \Leftrightarrow 0 < M < N.$
- So sánh logarit khác cơ số bằng cách đưa về cùng cơ số.
- Sử dụng tính chất của hàm logarit để so sánh.
Ví dụ: So sánh $A = \log_{2}6$ và $B = \log_{3}7$.
- Ta có: $\log_{2}6 > \log_{2}4 = 2$ và $\log_{3}7 < \log_{3}9 = 2$.
- Vậy $A > B$.

Dạng 3: Biểu diễn một logarit theo logarit khác.

Phương pháp:
- Sử dụng công thức đổi cơ số logarit để đưa về cùng cơ số.
- Biến đổi biểu thức logarit cần biểu diễn thành các logarit đã biết bằng cách sử dụng các tính chất của logarit.
Ví dụ: Biểu diễn $\log_{8}12$ theo $a = \log_{2}3$.
- Ta có: $\log_{8}12 = \frac{\log_{2}12}{\log_{2}8} = \frac{\log_{2}(2^2.3)}{3} = \frac{2 + \log_{2}3}{3} = \frac{2+a}{3}$.

Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình chứa logarit.

Phương pháp:
- Tìm điều kiện xác định của phương trình, bất phương trình.
- Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc đặt ẩn phụ để đưa về phương trình, bất phương trình cơ bản.
- Sử dụng tính đơn điệu của hàm logarit để giải bất phương trình.
- Kết hợp với điều kiện xác định để tìm nghiệm của phương trình, bất phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình $\log_{2}(x+1) = 3$.
- Điều kiện: $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -1$.
- Ta có: $\log_{2}(x+1) = 3 \Leftrightarrow x + 1 = 2^3 \Leftrightarrow x = 7$.
- Vậy nghiệm của phương trình là $x = 7$.

Lưu ý: Bài viết này chỉ trình bày một số dạng bài tập cơ bản về logarit. Để giải quyết tốt các bài tập logarit, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về logarit và luyện tập giải nhiều bài tập từ dễ đến khó.