Hàm Số Mũ Và Hàm Số Logarit

Bài viết trình bày lý thuyết và hướng dẫn phương pháp giải một số dạng toán thường gặp về hàm số mũ và hàm số logarit trong chương trình Giải tích 12.

A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA I. Định nghĩa Cho $0 < a
e 1.$ Hàm số dạng $y = {a^x}$ được gọi là hàm số mũ theo cơ số $a.$ Hàm số dạng $y = {\log _a}x$ được gọi là hàm số logarit theo cơ số $a.$

II. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số logarit

Hàm số mũ và hàm số logarit liên tục tại mọi điểm mà hàm số xác định, nghĩa là ta có: $\forall {x_0} \in R$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {a^x} = {a^{{x_0}}}.$ $\forall {x_0} \in (0; + \infty )$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\log _a}x = {\log _a}{x_0}.$
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t} = e$, $\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t} = e.$
Bằng cách viết $\frac{1}{t} = x$, ta được: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + x)^{\frac{1}{x}}} = e.$
Định lý: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1.$

III. Đạo hàm của hàm số mũ Định lý: Cho $0 < a
e 1.$ Hàm số $y = {a^x}$ có đạo hàm tại mọi $x \in R$ và $\left( {{a^x}} \right)’ = {a^x}.\ln a.$ Đặc biệt: $\left( {{e^x}} \right)’ = {e^x}.$ Nếu $u = u(x)$ là hàm số có đạo hàm trên khoảng $K$ thì hàm số $y = {a^{u(x)}}$ có đạo hàm trên $K$ và: $\left( {{a^{u(x)}}} \right)’ = u'(x).{a^{u(x)}}.\ln a.$ Đặc biệt: $\left( {{e^{u(x)}}} \right)’ = u'(x).{e^{u(x)}}.$

IV. Đạo hàm của hàm số logarit 1. Định lý: Cho $0 < a
e 1$ và $u = u(x)$ là hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm trên khoảng $K.$ Ta có: a) $\left( {{{\log }_a}x} \right)’ = \frac{1}{{x\ln a}}.$ Nói riêng, ta có: $(\ln x)’ = \frac{1}{x}.$ b) $\left( {{{\log }_a}u(x)} \right)’ = \frac{{u'(x)}}{{u(x)\ln a}}.$ Đặc biệt: $(\ln u(x))’ = \frac{{u'(x)}}{{u(x)}}.$

2. Hệ quả: a) $(\ln |x|)’ = \frac{1}{x}$ $(x
e 0).$ b) $(\ln |u(x)|)’ = \frac{{u'(x)}}{{u(x)}}.$

V. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ Tập xác định: $D= R.$ Tập giá trị: $f(D) = (0; + \infty ).$ Đạo hàm: $y’ = {a^x}.\ln a.$ Do đó:

Khi $a>1$ thì $y’ > 0$ nên hàm số $y = {a^x}$ đồng biến trên $R.$
Khi $0<a< 1$ thì $y'< 0$ nên hàm số $y = {a^x}$ nghịch biến trên $R.$ Giới hạn và tiệm cận:
Khi $a>1$ ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0$ nên đồ thị hàm số $y = {a^x}$ nhận $y = 0$ làm tiệm cận ngang khi $x \to - \infty .$
Khi $0 < a < 1$ ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = 0$ nên đồ thị hàm số $y = {a^x}$ nhận $y = 0$ làm tiệm cận ngang khi $x \to + \infty .$

VI. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số $y = {\log _a}x$ Tập xác định: $D = (0; + \infty ).$ Tập giá trị: $f(D) = R.$ Đạo hàm: $y’ = \frac{1}{{x.\ln a}}.$

Khi $a>1$ thì $y’> 0$ nên $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $(0; + \infty ).$
Khi $0<a< 1$ thì $y'< 0$ nên $y = {\log _a}x$ nghịch biến trên $(0; + \infty ).$ Giới hạn và tiệm cận:
Khi $a> 1:$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log a}x = - \infty $, $\mathop {\lim }\limits{x \to + \infty } {\log _a}x = + \infty $ $ \Rightarrow x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị khi $x \to {0^ + }.$
Khi $0<a< 1:$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log a}x = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits{x \to + \infty } {\log _a}x = - \infty $ $ \Rightarrow x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị khi $x \to {0^ + }.$

Nhận xét: Đồ thị $(G)$ của hàm số $y = {a^x}$ và đồ thị $(G’)$ của hàm số $y = {\log _a}x$ đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất: $y = x.$