Giải và biện luận các dạng phương trình lượng giác cơ bản

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận các dạng phương trình lượng giác cơ bản trong chương trình Đại số và Giải tích 11.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình: $\sin x = m.$

PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Ta biện luận theo các bước sau:

Bước 1: Nếu $|m| > 1$ phương trình vô nghiệm.
Bước 2: Nếu $|m| \le 1$, xét hai khả năng:
- Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $\sin$ của góc đặc biệt, giả sử $\alpha$, khi đó phương trình có dạng: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left\[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \alpha + 2k\pi }\\ {x = \pi - \alpha + 2k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$
- Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $\sin$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \sin \alpha $, ta được: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left\[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \alpha + 2k\pi }\\ {x = \pi - \alpha + 2k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm.

Đặc biệt:

$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi $, $k \in Z.$
$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi $, $k \in Z.$
$\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + 2k\pi $, $k \in Z.$

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a. $\sin x = \frac{1}{3}.$ b. $\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0.$

Lời giải:

a. Đặt $\frac{1}{3} = \sin \alpha $, khi đó: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left\[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \alpha + 2k\pi }\\ {x = \pi - \alpha + 2k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

b. Ta có: $\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right)$ $\Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - 3x - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left\[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x - \frac{\pi }{4} = - 3x - \frac{\pi }{3} + 2k\pi }\\ {2x - \frac{\pi }{4} = \pi - \left( { - 3x - \frac{\pi }{3}} \right) + 2k\pi } \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - \frac{\pi }{{60}} + \frac{{2k\pi }}{5}}\\ {x = - \frac{{19\pi }}{{12}} - 2k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình: $\sin (\pi \sin 2x) = 1.$

Lời giải:

Ta có: $\sin (\pi \sin 2x) = 1 \Leftrightarrow \pi \sin 2x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} + 2k$, $k \in Z$ $(1).$ Phương trình $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi: $\left| {\frac{1}{2} + 2k} \right| \le 1 \Leftrightarrow - \frac{3}{4} \le k \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow k = 0.$ Khi đó $(1)$ có dạng: $\sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x = \frac{\pi }{6} + 2l\pi }\\ {2x = \frac{{5\pi }}{6} + 2l\pi } \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{\pi }{{12}} + l\pi }\\ {x = \frac{{5\pi }}{{12}} + l\pi } \end{array}} \right.$, $l \in Z.$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Bài toán 2: Giải và biện luận phương trình: $\cos x = m.$

PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Ta biện luận theo các bước sau:

Bước 1: Nếu $|m| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.
Bước 2: Nếu $|m| \le 1$, xét hai trường hợp:
- Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $\cos$ của góc đặc biệt, giả sử $\alpha$, khi đó phương trình có dạng: $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left\[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \alpha + 2k\pi }\\ {x = - \alpha + 2k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$
- Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $\cos$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \cos \alpha $, ta được: $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left\[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \alpha + 2k\pi }\\ {x = - \alpha + 2k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm.

Đặc biệt: