Giải Chi Tiết Bài Toán Trả Góp Lãi Suất Trong Giải Tích 12

Bài Toán Trả Góp Trong Giải Tích 12 và Ứng Dụng

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán trả góp, trả nợ, vay vốn … thường gặp trong chương trình Giải tích 12 và đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán.

A. Mô Hình Bài Toán Trả Góp Tổng Quát

Một khách hàng vay $a$ đồng với lãi suất $r\%$ /tháng. Cứ sau đúng $1$ tháng thì khách hàng trả $m$ đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì khách hàng này hết nợ.

B. Hướng Dẫn Giải Bài Toán Trả Góp Tổng Quát

Ta tính số tiền còn lại sau $n$ tháng trả nợ:

Số tiền còn lại sau tháng thứ nhất là:
${S_1} = a(1 + r) - m.$
Số tiền còn lại sau tháng thứ hai là:
${S_2} = [a(1 + r) – m] + [a(1 + r) – m]r – m$ $ = a{(1 + r)^2} – m[(1 + r) + 1]$.
Số tiền còn lại sau tháng thứ ba là:
${S_3} = a{(1 + r)^3}$ $ – m\left[ {{{(1 + r)}^2} + (1 + r) + 1} \right]$.
… …
Số tiền còn lại sau $n$ tháng trả nợ là:
${S_n} = a{(1 + r)^n}$ $ – m\left[ {{{(1 + r)}^{n – 1}} + {{(1 + r)}^{n – 2}} + \ldots + (1 + r) + 1} \right]$.
$ = a{(1 + r)^n} – m.\frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r}$.
Để sau $n$ tháng khách hàng trả hết nợ thì:
${S_n} = a{(1 + r)^n} – m.\frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r} = 0$.

C. Bài Tập Vận Dụng Về Bài Toán Trả Góp

Dưới đây là một số bài tập vận dụng minh họa cho bài toán trả góp, bài toán vay vốn,... Các bạn có thể tham khảo để nắm vững hơn cách giải bài toán trả góp.

Câu 1. Anh Tài vay ngân hàng $2$ tỉ đồng để xây nhà và trả dần mỗi năm $500$ triệu đồng. Kì trả đầu tiên là sau khi nhận vốn với lãi suất trả chậm $9\%$ một năm. Hỏi sau mấy năm anh Tài mới trả hết nợ đã vay?
A. $5$ năm.
B. $3$ năm.
C. $4$ năm.
D. $6$ năm.

Lời giải:

Kì trả nợ đầu tiên là sau khi nhận vốn nên đây là bài toán vay vốn trả góp đầu kì.
Gọi $A$ là số tiền vay ngân hàng, $B$ là số tiền trả trong mỗi chu kì, $d = r\%$ là lãi suất trả chậm (tức là lãi suất cho số tiền còn nợ ngân hàng) trên một chu kì, $n$ là số kì trả nợ.
Số tiền còn nợ ngân hàng (tính cả lãi) trong từng chu kì như sau:

Đầu kì thứ nhất là $A – B$.
Đầu kì thứ hai là $(A – B)(1 + d) – B$ $ = A(1 + d) – B[(1 + d) + 1]$.
Đầu kì thứ ba là $[A(1 + d) – B((1 + d) + 1)](1 + d) – B$ $ = A{(1 + d)^2} – B\left[ {{{(1 + d)}^2} + (1 + d) + 1} \right]$.
… …
Theo giả thiết quy nạp, đầu kì thứ $n$ là:
$A{(1 + d)^{n – 1}}$ $ – B\left[ {{{(1 + d)}^{n – 1}} + \ldots + (1 + d) + 1} \right]$ $ = A{(1 + d)^{n – 1}} – B\frac{{{{(1 + d)}^n} – 1}}{d}$.
Vậy số tiền còn nợ (tính cả lãi) sau $n$ chu kì là $A{(1 + d)^{n – 1}} – B\frac{{{{(1 + d)}^n} – 1}}{d}$.
Trở lại bài toán đã cho, để sau $n$ năm (chu kì ở đây ứng với một năm) anh Tài trả hết nợ thì ta có:
$A{(1 + d)^{n – 1}} – B\frac{{{{(1 + d)}^n} – 1}}{d} = 0$ $ \Leftrightarrow 2.1,{09^{n – 1}} – 0,5.\frac{{1,{{09}^n} – 1}}{{0,09}} = 0$ $ \Leftrightarrow n \approx 4,7$.
Vậy phải sau $5$ năm anh Tài mới trả hết nợ đã vay.
Chọn đáp án A.

CÂU 2. Một người vay ngân hàng số tiền $350$ triệu đồng, mỗi tháng trả góp $8$ triệu đồng và lãi suất cho số tiền chưa trả là $0,79\%$ một tháng. Kì trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất. Hỏi số tiền phải trả ở kì cuối là bao nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn).
A. $7140000$ đồng.
B. $984000$ đồng.
C. $2944000$ đồng.
D. $2921000$ đồng.

Lời giải:

Phân tích và tìm lời giải cho bài toán tổng quát:
Kì trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất nên đây là bài toán vay vốn trả góp cuối kì.
Gọi $A$ là số tiền vay ngân hàng, $B$ là số tiền trả trong mỗi chu kì, $d = r\%$ là lãi suất cho số tiền chưa trả trên một chu kì, $n$ là số kì trả nợ.
Số tiền còn nợ ngân hàng (tính cả lãi) trong từng chu kì được tính như sau:

Đầu kì thứ nhất là $A$.
Cuối kì thứ nhất là $A(1 + d) – B$.
Cuối kì thứ hai là $(A(1 + d) – B)(1 + d) – B$ $ = A{(1 + d)^2} – B[(1 + d) + 1]$.
Cuối kì thứ ba là $\left[ {A{{(1 + d)}^2} – B((1 + d) + 1)} \right](1 + d) – B$ $ = A{(1 + d)^3} – B\left[ {{{(1 + d)}^2} + 1(1 + d) + 1} \right]$.
… …
Theo giả thiết quy nạp, cuối kì thứ $n$ là:
$A{(1 + d)^n}$ $ – B\left[ {{{(1 + d)}^{n – 1}} + \ldots + (1 + d) + 1} \right]$ $ = A{(1 + d)^n} – B\frac{{{{(1 + d)}^n} – 1}}{d}$.
Vậy số tiền còn nợ (tính cả lãi) sau $n$ chu kì là:
${S_n} = A{(1 + d)^n} – B\frac{{{{(1 + d)}^n} – 1}}{d}$.
Trở lại đề bài, ta gọi $n$ (tháng) là số kì trả hết nợ.
Khi đó, ta có:
$A{(1 + d)^n} – B\frac{{{{(1 + d)}^n} – 1}}{d} = 0$ $ \Leftrightarrow 350.1,{0079^n} – 8.\frac{{1,{{0079}^n} – 1}}{{0,0079}} = 0$ $ \Leftrightarrow n \approx 53,9$.
Tức là phải mất $54$ tháng người này mới trả hết nợ.
Cuối tháng thứ $53$, số tiền còn nợ (tính cả lãi) là:
${S_{53}} = 350.1,{0079^{53}} – 8.\frac{{1,{{0079}^{53}} – 1}}{{0,0079}}$ (triệu đồng).
Kì trả nợ tiếp theo là cuối tháng thứ $54$, khi đó phải trả số tiền ${S_{53}}$ và lãi của số tiền này nữa là: ${S_{53}}.1,0079 \approx 7,139832$ (triệu đồng).
Chọn đáp án A.