Chứng minh tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán chứng minh tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân trong chương trình Đại số và Giải tích 11.

I. PHƯƠNG PHÁP
Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.
Sử dụng tính chất của cấp số:
\+ $a$, $b$, $c$ theo thứ tự đó lập thành CSC $ \Leftrightarrow a + c = 2b.$ \+ $a$, $b$, $c$ theo thứ tự đó lập thành CSN $ \Leftrightarrow ac = {b^2}.$

II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng các số:

$1$, $\sqrt 3 $, $3$ không thể cùng thuộc một cấp số cộng.
$2$, $3$, $5$ không thể cùng thuộc một cấp số nhân.

Lời giải:

Giả sử $1$, $\sqrt 3 $, $3$ là số hạng thứ $m$, $n$, $p$ của một CSC $\left( {{u_n}} \right).$ Ta có: $\sqrt 3 = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 1}}$ $ = \frac{{{u_p} - {u_n}}}{{{u_n} - {u_m}}}$ $ = \frac{{{u_1}(p - n)}}{{{u_1}(n - m)}}$ $ = \frac{{p - n}}{{n - m}}$ vô lí vì $\sqrt 3 $ là số vô tỉ, còn $\frac{{p - n}}{{n - m}}$ là số hữu tỉ.
Giả sử $2$, $3$, $5$ là ba số hạng thứ $m$, $n$, $p$ của CSN $\left( {{v_n}} \right)$ có công bội $q.$ Ta có: $\frac{2}{3} = \frac{{{u_m}}}{{{u_n}}} = {q^{m - n}}$; $\frac{5}{3} = {q^{p - n}}$, suy ra ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{p - n}} = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^{m - n}}$ $ = {p^{(p - n)(m - n)}}.$ $ \Rightarrow {2^{p - n}}{.3^{m - p}}{.5^{n - m}} = 1$ vô lí.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là:

Cấp số cộng khi và chỉ khi ${u_n} = an + b.$
Cấp số nhân khi và chỉ khi ${u_n} = a.{q^n}.$

Lời giải:

Giả sử $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng công sai $d$, khi đó: ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$ $ = dn + {u_1} - d = an + b.$ Giả sử: ${u_n} = an + b$ $ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = a$ $ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + a$, $\forall n.$ Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $a.$
Giả sử $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q$, khi đó: ${u_n} = {u_1}.{q^n}.$ Giả sử ${u_n} = a.{q^n}$, suy ra $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q$ $ \Rightarrow {u_{n + 1}} = q.{u_n}$, $\forall n.$ Suy ra dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q.$

(Còn tiếp, vui lòng yêu cầu phần tiếp theo)