Chứng minh hai mặt phẳng song song
Bài viết trình bày định nghĩa, điều kiện và các định lý thường được áp dụng để chứng minh hai mặt phẳng song song, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Hình học 11 chương 2 – đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song, bên cạnh đó, bài viết còn cung cấp một số ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và bài tập tự rèn luyện chủ đề hai mặt phẳng song song.
Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.
Điều kiện song song của hai mặt phẳng:
Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau và cùng song song mặt phẳng $(Q)$ thì $(P)$ song song $(Q).$
$\left. \begin{array}{l}
a\:và\:b \subset (P)\\
a\:cắt\:b\\
a,b//(Q)
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow (P)//(Q).$
Các định lí:
a) Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song mặt phẳng đó.
b) Nếu đường thẳng $a$ song song mặt phẳng $(Q)$ thì qua $a$ chỉ có duy nhất một mặt phẳng song song mặt phẳng $(Q).$
c) Nếu hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song thì mọi mặt phẳng $(R)$ cắt $(P)$ thì cắt $(Q)$ và các giao tuyến của chúng song song.
$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{(P)//(Q)}\\
{a = (P) \cap (R)}\\
{b = (Q) \cap (R)}
\end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow a//b.$
d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
e) Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn bằng nhau.
f) Định lí Thales:
Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
g) Định lí Thales đảo:
Nếu trên hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ lần lượt lấy các điểm $A$, $B$, $C$ và $A’$, $B’$, $C’$ sao cho $\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}}$ thì ba đường thẳng $AA’$, $BB’$, $CC’$ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $G_1$, $G_2$, $G_3$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$, $ACD$, $ABD.$ Chứng minh mặt phẳng ${G_1}{G_2}{G_3}$ song song với mặt phẳng $(BCD).$
Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là trung điểm $BC$, $CD$, $BD.$
Ta có: $\frac{{A{G_1}}}{{AI}} = \frac{{A{G_3}}}{{AK}} = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow {G_1}{G_3}//IK$ $(1).$
Tương tự: $\frac{{A{G_3}}}{{AK}} = \frac{{A{G_2}}}{{AJ}} = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow {G_2}{G_3}//KJ$ $(2).$
Mà ${G_1}{G_3}$, ${G_3}{G_2}$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)$ và $IK$, $KJ$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(BCD).$
Do đó $mp\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)//mp(BCD).$
Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SD$, $AB.$
a) Chứng minh mặt phẳng $(OMN)$ song song mặt phẳng $(SBC).$
b) Lấy điểm $I$ trên $ON.$ Chứng minh $PI$ song song với mặt phẳng $(SBC).$
a) Ta có: $MN // BC$ và $ON // SB.$
Mà: $ON, MN ⊂ mp (OMN)$, $BC, SB ⊂ mp (SBC).$
Vậy $mp (OMN) // mp (SBC).$
b) Ta có: $OP // AD$ mà $AD // MN$ nên $OP // MN.$
Vậy $P ∈ mp (OMN).$
$⇒ PI ⊂ mp (OMN).$
Mà $mp (OMN) // mp (SBC).$
$⇒ PI // mp (SBC).$
Ví dụ 3: Cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên hai đường chéo $AC$ và $BF$ lần lượt lấy hai điểm $M$, $N$ sao cho $AM = BN.$ Các đường thẳng song song với $AB$ vẽ từ $M$, $N$ lần lượt cắt $AD$, $AF$ tại $H$, $K.$ Chứng minh:
a) Mặt phẳng $(CBE)$ song song mặt phẳng $(ADF).$
b) Mặt phẳng $(DEF)$ song song mặt phẳng $(MNHK).$
a) Ta có $BE // AF$ và $BC // AD$, mà $BE$, $BC$ cắt nhau nằm trong mặt phẳng $(BCE)$, $AF$, $AD$ cắt nhau nằm trong mặt phẳng $(ADF).$
Vậy $mp (CBE) // mp (ADF).$
b) Ta có $NK // EF$ (vì cùng song song với $AB$).
Mặc khác:
$NK//AB \Rightarrow \frac{{BN}}{{BF}} = \frac{{AK}}{{AF}}.$
$MH//CD \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AD}}.$
Mà $BN = AM$ và $BF = AC.$
Vậy $\frac{{AK}}{{AF}} = \frac{{AH}}{{AD}} \Rightarrow HK//FD.$
Ta có:
$EF$ và $FD$ cắt nhau và nằm trong mặt phẳng $(DEF).$
$NK$ và $HK$ cắt nhau và nằm trong mặt phẳng $(NKHM)$
Mà $EF // NK$ và $DF // HK.$
Do đó $mp (DEF) // mp (NKHM).$
Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD.$ Chứng minh rằng các đường phân giác ngoài của các góc $\widehat {BAC}$, $\widehat {CAD}$, $\widehat {DAB}$ đồng phẳng.
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên vẽ $AH ⊥ BC$ thì $AH$ là đường phân giác trong của $\widehat {BAC}.$
Gọi $Ax$ là đường phân giác ngoài của $\widehat {BAC}$ thì $Ax ⊥ AH$ $⇒ Ax // BC$ $⇒ Ax // mp (BCD).$
Tương tự $Ay$ là đường phân giác của $\widehat {CAD}$ thì $Ay // CD$ $⇒ Ay // mp (BCD).$
Tương tự $At$ là đường phân giác của $\widehat {BAD}$ thì $At // BD$ $⇒ At // mp (BCD).$
Do từ điểm $A$ ta chỉ vẽ được duy nhất một mặt phẳng $(α)$ song song với mặt phẳng $(BCD)$ nên các đường $Ax$, $Ay$, $At$ cùng nằm trên $(α).$
Ví dụ 5: Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau $Ax$, $By.$ Gọi $M$, $N$ là hai điểm di động trên $Ax$, $By$ sao cho $AM = BN.$ Lấy $P$ là điểm sao cho $\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BA} .$ Gọi $I$ là trung điểm $MN.$ Chứng minh:
a) $MP$ có phương không đổi và $MN$ luôn song song một mặt phẳng cố định.
b) Khi $M$, $N$ di động thì $I$ luôn di động trên một đường thẳng cố định.
Do $\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BA} $ nên $P ∈ Ay’$ cố định sao cho: $Ay’ // By.$
Ta có: $AP = AM$ (vì cùng bằng $BN$).
Gọi $J$ là trung điểm $MP$ thì $AJ ⊥ MP.$ Do đó $MP$ luôn song song với một đường cố định là phân giác ngoài $Az$ của $\widehat {xAy’}$ cố định.
Ta có: $NP // AB$ và $MP // Az.$
Vậy $mp (MNP) // mp (AB, Az).$
Mà $MN ⊂ mp (MNP)$ nên $MN // mp (AB, Az)$ cố định.
b) Gọi $O$ là trung điểm $AB.$
Ta có: $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {NP} $, $\overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} $ mà $\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BA} $ nên $\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {OA} .$
Do đó: $OI//At.$
Vậy khi $M$, $N$ di động thì trung điểm $I$ của $MN$ luôn di động trên đường thẳng cố định qua $O$ và song song $At$ là tia phân giác của $\widehat {xAy’}$ cố định.
Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang ($AD // BC$, $AD > BC$). Gọi $M$, $N$, $E$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$, $SA.$
a) Chứng minh $MN$ song song $(SBC)$, $(MEN)$ song song $(SBC).$
b) Tìm giao điểm $F$ của $(MNE)$ và $SD.$ Xác định thiết diện của $(MNE)$ với hình chóp.
c) Chứng minh $SC$ song song $(MNE)$, $AF$ có song song $(SBC)$ không?
a) Ta có $MN // BC$ mà $BC ⊂ (SBC)$ $⇒ MN // (SBC).$
Ta có $MN // (SBC)$, $ME // (SBC)$ $⇒(MEN) // (SBC).$
b) Mặt phẳng $(MNE)$ chứa $MN // AD.$
Vậy $(MNE)$ cắt $(SAD)$ theo giao tuyến $Et$ qua $M$ và song song $AD.$
Gọi $F$ là giao điểm của $Et$ và $SD$ thì $F = SD ∩ (MNE).$
Mặt cắt của $(MNE)$ và hình chóp là hình thang $MNFE.$
c) Ta có $(SBC) // (MNE)$ mà $SC ⊂ (SBC)$ $⇒ SC // (MNE).$
Nếu $AF // (SBC)$ thì $AF ⊂ (MNE)$ (vô lí).
Vậy $AF$ không song song $(SBC).$
Bài tập rèn luyện:
Bài tập 1: Cho mặt phẳng $(P)$ và điểm $A$ nằm ngoài $(P).$ Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng qua $A$ và song song $(P)$ đều nằm trong mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và song song $(P).$
Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q).$ Hai đường thẳng song song $a$ và $b.$ Gọi $A$, $A’$ lần lượt là giao điểm của $a$ với $(P)$ và $(Q).$ Gọi $B$, $B’$ lần lượt là giao điểm của $b$ với $(P)$ và $(Q).$ Chứng minh $AA’ = BB’.$
Bài tập 3: Từ các đỉnh của tam giác $ABC$, vẽ các đoạn thẳng $AA’$, $BB’$, $CC’$ song song và bằng nhau không nằm trong mặt phẳng $(ABC).$ Gọi $I$, $G$, $K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$, $ACC’$, $A’B’C’.$ Chứng minh:
a) Mặt phẳng $(IGK)$ song song mặt phẳng $(BB’C’C).$
b) Mặt phẳng $(A’GK)$ song song mặt phẳng $(AIB’).$
Bài tập 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng $(P)$ cắt $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ tại $A’$, $B’$, $C’$, $D’.$ Chứng minh $A’B’C’D’$ là hình bình hành khi và chỉ khi mặt phẳng $(P)$ song song mặt phẳng $(ABCD).$
Bài tập 5: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh là hình vuông cạnh $a.$ Lấy $M$, $N$ trên $AD’$, $DB$ sao cho $AM = DN = x$ $(0 < x < a\sqrt 2 ).$
a) Chứng minh khi $x$ thay đổi thì $MN$ luôn song song mặt phẳng cố định.
b) Chứng minh khi $x = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}$ thì $MN$ song song $A’C.$
Bài tập 6: Cho tứ diện $ABCD.$ Hai điểm $M$, $N$ di động trên $AB$ và $CD.$ Tìm tập hợp trung điểm $I$ của $MN.$
Bài tập 7: Cho hai tia $Ax$ và $By$ lần lượt nằm trên hai đường chéo nhau. Lấy $M$, $N$ trên $Ax$, $By$ sao cho $AM = BN = m.$ Chứng minh khi $m$ thay đổi thì $MN$ luôn song song một mặt phẳng cố định.
