Cách Giải Bất Phương Trình Mũ Trong Giải Tích 12

Bài viết hướng dẫn giải một số dạng toán bất phương trình mũ thường gặp trong chương trình Giải tích 12.

A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình có một trong các dạng:
`${a^x} > m`, `${a^x} \ge m`, `${a^x} < m`, `${a^x} \le m` với `0 < a
e 1.`

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Phương pháp chung:
Áp dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ để giải.

1. Bất phương trình mũ dạng cơ bản.
Phương pháp:
Với bất phương trình `${a^x} > m` `(1).`

Nếu `m \le 0` thì tập nghiệm của `(1)` là `S = R` (vì `${a^x} > 0`, `\forall x \in R`).
Nếu `m>0` thì: `(1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > {{\log }_a}m{\rm{\:khi\:}}a > 1}\\ {x < {{\log }_a}m{\rm{\:khi\:}}0 < a < 1} \end{array}} \right..`

Ví dụ: Giải bất phương trình `${3^x} > 81.`

Ta có: `${3^x} > 81` ` \Leftrightarrow {3^x} > {3^4}` ` \Leftrightarrow x > 4.`

2. Đưa bất phương trình mũ về cùng cơ số.
Phương pháp:
Với `0 < a
e 1`. Ta có:

`${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}}` ` \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x) > g(x)\:nếu\:a > 1}\\ {f(x) < g(x)\:nếu\:0 < a < 1} \end{array}} \right..`
`${a^{f(x)}} \ge {a^{g(x)}}` ` \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x) \ge g(x)\:nếu\:a > 1}\\ {f(x) \le g(x)\:nếu\:0 < a < 1} \end{array}} \right..`

Ví dụ: Giải bất phương trình: `${2^{|x – 2|}} > {4^{|x + 1|}}.`

Ta có: `${2^{|x – 2|}} > {4^{|x + 1|}}` ` \Leftrightarrow {2^{|x – 2|}} > {2^{2|x + 1|}}` ` \Leftrightarrow |x – 2| > 2|x + 1|` ` \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 4 > 4{x^2} + 8x + 4` ` \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x < 0` ` \Leftrightarrow – 4 < x < 0.`
Vậy nghiệm của bất phương trình là: `-4< x < 0.`

3. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp:
Nếu đặt `t = {a^x}`, điều kiện `t>0` thì:
`${a^{2x}} = {\left( {{a^2}} \right)^x} = {\left( {{a^x}} \right)^2} = {t^2}.` \${a^{3x}} = {t^3}.` \${a^{ – x}} = \frac{1}{t}.``
……

Ví dụ: Giải bất phương trình: `${4^x} – {2.5^{2x}} < {10^x}.``

`${4^x} – {2.5^{2x}} < {10^x}` ` \Leftrightarrow 1 – 2.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{2x}} < {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x}` `(1).`
Đặt `t = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x}`, điều kiện `t > 0.`
`(1)` trở thành `1 – 2{t^2} < t` ` \Leftrightarrow 2{t^2} + t – 1 > 0` ` \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t < – 1}\\ {t > \frac{1}{2}} \end{array}} \right.` ` \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} > \frac{1}{2}` ` \Leftrightarrow x > {\log _{\frac{5}{2}}}\frac{1}{2}` ` \Leftrightarrow x > – {\log _{\frac{5}{2}}}2.`

4. Phương pháp lôgarit hóa.
Phương pháp:
Với bất phương trình mũ mà hai vế là tích hay thương của nhiều lũy thừa với các cơ số khác nhau thì ta có thể lấy lôgarit hai vế, ta có:

`${a^{f(x)}} > {b^{g(x)}}` ` \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x) > g(x).{{\log }_a}b{\rm{\:nếu\:}}a > 1}\\ {f(x) < g(x).{{\log }_a}b{\rm{\:nếu\:}}0 < a < 1} \end{array}.} \right.`
`${a^{f(x)}} \ge {b^{g(x)}}` ` \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x) \ge g(x).{{\log }_a}b{\rm{\:nếu\:}}a > 1}\\ {f(x) \le g(x).{{\log }_a}b{\rm{\:nếu\:}}0 < a < 1} \end{array}.} \right.`

Ví dụ: Giải bất phương trình: `${3^{2x – 1}} < {11^{3 – x}}.`

`${3^{2x – 1}} < {11^{3 – x}}` ` \Leftrightarrow 2x – 1 < {\log _3}{11^{3 – x}}` ` \Leftrightarrow 2x – 1 < (3 – x){\log _3}11` ` \Leftrightarrow x < \frac{{3{{\log }_3}11 + 1}}{{2 + {{\log }_3}11}}.`