Các Bài Toán Về Tính Chất Của Các Hàm Số Lượng Giác
Bài viết hướng dẫn giải một số bài toán về tính chất của các hàm số lượng giác trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 1.
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
$f(x) = \sin 2x – \cos 3x.$
$f(x) = 5\cos x – 2.$
$f(x) = 4\sin 2x + 3.$
$f(x) = \sin x{\cos ^2}x + \tan x.$
Hàm số $f(x) = \sin 2x – \cos 3x$ xác định trên $R.$ Rõ ràng $R$ là tập đối xứng qua gốc $O.$ Mặt khác với mọi $x \in R$ ta có: $f( – x) = \sin ( – 2x) – \cos ( – 3x)$ $ = – \sin 2x – \cos 3x.$ Từ đó suy ra ta không thể có: $f( – x) = f(x)$, $\forall x \in R$ cũng như $f( – x) = – f(x)$, $\forall x \in R.$ Ví dụ $f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{{2\pi }}{3} – \cos \pi $ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1$, $f\left( { – \frac{\pi }{3}} \right) = – \sin \frac{{2\pi }}{3} – \cos \pi $ $ = – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1.$ Vậy trên $R$ hàm số $f(x) = \sin 2x – \cos 3x$ không phải là hàm số chẵn, cũng không phải hàm số lẻ.
Hàm số $f(x) = 5\cos x – 2$ xác định trên $R.$ Với mọi $x \in R$ ta có: $f( – x) = 5\cos ( – x) – 2$ $ = 5\cos x – 2 = f(x).$ Vậy $f(x) = 5\cos x – 2$ là hàm số chẵn trên $R.$
Hàm số $f(x) = 4\sin 2x + 3$ xác định trên $R.$ Với mọi $x \in R$ ta có: $f( – x) = 4\sin ( – 2x) + 3$ $ = – 4\sin 2x + 3.$ Từ đó suy ra ta không thể có: $f( – x) = f(x)$, $\forall x \in R.$ $f( – x) = – f(x)$, $\forall x \in R.$ Vậy $f(x) = 4\sin 2x + 3$ không phải là hàm số chẵn, cũng không phải là hàm số lẻ trên $R.$
Hàm số $f(x) = \sin x{\cos ^2}x + \tan x$ xác định với mọi $x
e \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$ Rõ ràng tập xác định $D$ đó là miền đối xứng qua gốc $O.$ Với mọi $x \in D$ ta có: $f( – x) = \sin ( – x){\cos ^2}( – x) + \tan ( – x)$ $ = – \sin x{\cos ^2}x – \tan x = – f(x).$ Vậy $f(x)$ là hàm số lẻ trên miền xác định $D = \left\{ {x \in R:x
e \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in R} \right\}.$
