Đề thi Olympic Toán 11 năm 2023 - 2024 cụm Hoàn Kiếm & Hai Bà Trưng - Hà Nội

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi Olympic môn Toán 11 năm học 2023 - 2024 cụm trường THPT Hoàn Kiếm & Hai Bà Trưng, thành phố Hà Nội; đề thi có đáp án và hướng dẫn chấm điểm.

Trích dẫn Đề thi Olympic Toán 11 năm 2023 - 2024 cụm Hoàn Kiếm & Hai Bà Trưng - Hà Nội:

1. Bài 1: Cho bất phương trình \(log_2(log_3(10^x)) < m\).
   • a) Giải bất phương trình đã cho khi \(m = 2\).
   • b) Tìm các giá trị của \(m\) để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x\) thuộc khoảng \((2, 3)\).
2. Bài 2: Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số 0 xuất hiện đúng 3 lần. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\), tính xác suất để số đó chia hết cho 5.
3. Bài 3: Cho hình chóp \(S.ABC\) có cạnh \(SB = 6a\), các cạnh còn lại của hình chóp bằng \(a\). Gọi \(I\) là trung điểm \(AC\).
   • a) Chứng minh \(SI\) vuông góc với đường thẳng \(BC\).
   • b) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).
   • c) Gọi \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và tam giác \(SAC\). Một mặt phẳng đi qua \(G\) và \(G'\) cắt hai cạnh \(SA, SC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Khi \(MN\) đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích của tam giác \(GMN\).