Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 Trại hè Hùng Vương lần thứ 18 năm 2024
Đề thi chọn HSG Toán 11 Trại hè Hùng Vương lần thứ 18 năm 2024 có lời giải
MeToan.Com trân trọng giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 Trại hè Hùng Vương lần thứ 18 năm 2024. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 02 tháng 08 năm 2024. Đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.
Trích dẫn nội dung Đề thi chọn HSG Toán 11 Trại hè Hùng Vương lần thứ 18 năm 2024:
Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc tia đối của tia AB (M khác A). Kẻ đường thẳng qua M cắt (O) tại C và D (C nằm giữa M và D). Gọi N là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng đi qua M vuông góc với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF cắt NI tại điểm thứ hai là J.
a) Chứng minh rằng F, A, J thẳng hàng.
b) Gọi P là điểm đối xứng với I qua O. Đường thẳng đi qua I song song với NP cắt AB tại Q; đường thẳng đi qua Q song song với NI cắt PA và PB lần lượt tại R và S. Chứng minh rằng PRS tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF.
Bài 2: Cô giáo viết lên bảng 80 số thực phân biệt và đưa ra thử thách cho một nhóm học sinh. Mỗi bạn ban đầu được phát hai mảnh giấy và sẽ dựa theo các số trên bảng để thảo luận với nhau mà viết lên mỗi mảnh giấy nhận được một con số (các số không nhất thiết phân biệt và cũng không nhất thiết giống số nào đó của cô). Mỗi lượt thử thách cô giáo đọc một số x trên bảng và yêu cầu tất cả học sinh đều phải chọn một trong hai mảnh giấy của mình để giơ lên. Lượt thử thách được vượt qua nếu tổng tất cả các số trên các tờ giấy được giơ lên đúng bằng x. Nhóm học sinh được coi là vượt qua thử thách nếu vượt qua tất cả 80 lượt thử thách ứng với 80 số đã cho.
a) Chứng minh rằng cho dù cô giáo viết những số nào thì một nhóm gồm 79 bạn chắc chắn sẽ luôn có cách vượt qua thử thách.
b) Nếu cô viết các số từ 1 đến 79 thì nhóm cần ít nhất bao nhiêu bạn để có thể vượt qua thử thách?
Bài 3: Một số nguyên dương h gọi là số “Hòa Bình” nếu tồn tại hai số nguyên x, y thoả mãn 2^(x^2 + 3) = (6x + 12y)(12x + y) và x lẻ.
a) Chứng minh rằng số 2 là một số “Hòa Bình”.
b) Tìm số “Hòa Bình” nhỏ nhất.
