Đề thi HSG Toán 11 lần thứ 15 năm 2024 hội các trường THPT chuyên DH&ĐB Bắc Bộ

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 lần thứ 15 năm 2024 hội các trường THPT chuyên vùng DH&ĐB Bắc Bộ; kỳ thi được diễn ra vào ngày 16 tháng 07 năm 2024.

Trích dẫn Đề thi HSG Toán 11 lần 15 năm 2024 hội các trường THPT chuyên DH&ĐB Bắc Bộ:

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB. Tia phân giác trong góc BAC cắt các đường thẳng OF, OE lần lượt tại P, Q và cắt lại đường tròn (O) tại điểm D. a) Chứng minh rằng diện tích hai tam giác PDF và QDE bằng nhau. b) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BP và CQ. Chứng minh rằng HM đi qua điểm chính giữa cung BAC của đường tròn (O).

Bài 2: Cho số nguyên a và số nguyên dương n. Chứng minh rằng chia hết cho n, trong đó (x;y) được kí hiệu là ước chung lớn nhất của hai số nguyên x và y.

Bài 3: Một hình chữ nhật gồm hai ô vuông đơn vị 2 x 1 hoặc 1 x 2 được gọi là một domino. Người ta đặt các domino lên một bảng n x n (n nguyên dương, n ≥ 2) ô vuông đơn vị sao cho mỗi domino phủ đúng 2 ô của bảng và không có ô nào được phủ bởi 2 domino khác nhau (tức là các domino không xếp chồng lên nhau). Tổng số domino mà các ô của chúng phủ ít nhất một ô của hàng hoặc cột được gọi là trị số của hàng hoặc cột đó. Một cách đặt được gọi là cân bằng nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho mỗi hàng và mỗi cột của nó đều có trị số là k. Chẳng hạn tồn tại cách đặt cân bằng cho bảng 3 x 3 với k = 1 như hình vẽ bên. a) Chứng minh tồn tại các cách đặt cân bằng với n thuộc {4;5} và k = 3. b) Có tồn tại cách đặt cân bằng với n = 2024 hay không? Nếu có hãy tìm số domino ít nhất cần thiết để có được cách đặt cân bằng cho bảng đó.