Đề thi Olympic 30/04 Toán 11 lần 28 năm 2024 trường chuyên Lê Quý Đôn – BR VT

Đề thi Olympic 30/04 Toán 11 lần thứ 28 năm 2024 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa - Vũng Tàu

MeToan.Com trân trọng giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 04 môn Toán 11 lần thứ 28 năm 2024 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu. Đề thi có đáp án và hướng dẫn chấm điểm.

Trích dẫn nội dung Đề thi Olympic 30/04 Toán 11:

Bài 1: Cho số nguyên dương m (m ≥ 2). Gọi p là ước nguyên tố của 2m - 1. Giả sử 2n ≡ 1 (mod pk) với k là số nguyên dương lẻ và n là số nguyên dương. * a) Chứng minh n ≥ m - 1. * b) Chứng minh 1/2n - k chia hết cho p.

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và có H là trực tâm. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC cắt đoạn thẳng AM tại K; tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng BC ở điểm S. * a) Chứng minh 2MK = MA + MB và SA2 = SK.SA. * b) Đường thẳng SK cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác TPQ tiếp xúc với đường tròn (O).

Bài 3: Ban chấp hành Đoàn trường THPT X gồm có n thành viên. Trong năm học, Đoàn trường tổ chức m chương trình, mỗi chương trình có đúng k thành viên trong ban chấp hành tham gia. Mỗi thành viên trong ban chấp hành tham gia ít nhất một chương trình. * a) Cho m = k(8k - 3). Biết rằng với hai chương trình bất kỳ luôn có đúng một thành viên trong ban chấp hành tham gia cả hai chương trình đó. Chứng minh n = 17. * b) Cho n = k(25k - 10). Biết rằng với hai chương trình bất kỳ luôn có không quá 3 thành viên trong ban chấp hành cùng tham gia. Chứng minh m ≤ 6.