Đề thi Olympic 27/4 Toán 11 năm 2017 - 2018 sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu

Đề thi Olympic 27/4 Toán 11 năm học 2017 - 2018 của sở Giáo dục và Đào tạo Bà Rịa - Vũng Tàu được tổ chức vào ngày 06/03/2018. Đề thi gồm 1 trang với 5 bài toán tự luận, thời gian làm bài là 180 phút. Kỳ thi được tổ chức nhằm mục đích tuyển chọn học sinh giỏi Toán 11 trên toàn tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu. Đề thi có kèm lời giải chi tiết.

Một số nội dung của đề thi:

• Cho ∆ABC không tù và thỏa mãn 2((cosA)^3 + (cosB)^3 + (cosC)^3) + 3cosAcosBcosC = 9/8. Chứng minh ABC là tam giác đều.
• Tìm tất cả các giá trị của a để giới hạn lim x(ax + √(x^2 + 2x) – 2√(x^2 + x)) khi x → +∞ có giá trị hữu hạn.
• Cho đoạn thẳng AB vuông góc với mặt phẳng (P) tại B. Trong (P) lấy điểm H thỏa mãn BH = BA = a (a > 0). Vẽ đường thẳng d qua H, d vuông góc với BH. Hai điểm M, N di động trên d và thỏa mãn MAN = 90°. Đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (MAN) cắt (P) tại điểm K.
  • Chứng minh B là trực tâm của tam giác KMN.
  • Gọi α, β lần lượt là số đo các góc tạo bởi BM với mặt phẳng (AKN), BN với mặt phẳng (AKM). Chứng minh (cosα)^2 + (cosβ)^2 = 1/2 và tìm giá trị nhỏ nhất của α + β.