Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm học 2018 - 2019 sở GD&ĐT Phú Yên

Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm học 2018 - 2019 tại Phú Yên

Sáng ngày 28 tháng 03 năm 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Yên đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán cho năm học 2018 - 2019. Đề thi được biên soạn theo hình thức tự luận, gồm 06 bài toán với tổng điểm là 20. Thí sinh có 180 phút để hoàn thành bài thi (không tính thời gian phát đề).

Trích dẫn một số nội dung trong đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm học 2018 - 2019 sở GD&ĐT Phú Yên:

• Bài toán về phương trình: Cho bốn số thực p, q, m, n thỏa mãn hệ thức: (q – n)^2 + (p – m)(pn – qm) < 0. Chứng minh rằng hai phương trình: x^2 + px + q = 0 và x^2 + mx + n = 0 đều có các nghiệm phân biệt và các nghiệm của chúng nằm xen kẽ nhau khi biểu diễn trên trục số.
• Bài toán hình học: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
  • a) Chứng minh rằng a.IA^2 + b.IB^2 + c.IC^2 = abc.
  • b) Chứng minh rằng √a(bc – IA^2) + √(b(ca – IB^2) + √c(ab – IC^2) ≤ 6√abc. Hãy chỉ ra một trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
• Bài toán bất đẳng thức: Cho x, y, z là 3 số thực thỏa mãn x^2 + y^2 + z^2 = 1.
  • a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy + yz + 2019zx.
  • b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = xy + yz + 2zx.