Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 11 năm 2018 - 2019 sở GD&ĐT Bắc Ninh

Vào ngày 15 tháng 03 năm 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 11 cho năm học 2018 - 2019. Đây là cơ hội để các em học sinh thể hiện năng lực toán học của bản thân, đồng thời cũng là dịp để Sở GD&ĐT tuyển chọn những gương mặt xuất sắc nhất đại diện cho tỉnh tham dự kỳ thi học sinh giỏi Toán 11 cấp Quốc gia.

Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 11 năm học 2018 - 2019 của Sở GD&ĐT Bắc Ninh được biên soạn theo hình thức tự luận, gồm 06 bài toán với thời gian làm bài là 150 phút (không kể thời gian phát đề).

Dưới đây là một số trích dẫn từ đề thi:

• Bài toán về tổ hợp: Lớp 11 Toán có 34 học sinh tham gia kiểm tra môn Toán để chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Đề kiểm tra gồm 5 bài toán. Biết rằng mỗi bài toán thì có ít nhất 19 học sinh giải quyết được. Chứng minh rằng có 2 học sinh sao cho mỗi bài toán đều được một trong hai học sinh này giải quyết được.
• Bài toán về hình học không gian: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a√3, BC = a và SA = SB = SC = SD = 2a. Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và H là hình chiếu vuông góc của K trên SA.
  • a) Tính độ dài đoạn HK theo a.
  • b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HK, SO. Mặt phẳng (α) di động, luôn đi qua I và cắt các đoạn thẳng SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = SA’.SB’.SC’.SD’.
• Bài toán về lượng giác: Cho tứ diện đều ABCD có đường cao AH. Mặt phẳng (P) chứa AH cắt ba cạnh BC, CD, BD lần lượt tại M, N, P; gọi α, β, γ là góc hợp bởi AM, AN, AP với mặt phẳng (BCD). Chứng minh rằng tanα^2 + tanβ^2 + tanγ^2 = 12.