Đề Olympic 30 Tháng 4 Toán 11 Năm 2023 Trường Chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 môn Toán 11 lần thứ XXVII năm 2023 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, thành phố Hồ Chí Minh; kỳ thi được diễn ra vào thứ Bảy ngày 08 tháng 04 năm 2023.

Trích dẫn Đề Olympic 30 tháng 4 Toán 11 năm 2023 trường chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM:

• Cho p là số nguyên tố có dạng 20n + 7. Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương có thể biểu diễn dưới dạng a² + 5b² với a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.
  • a. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho kp thuộc S.
  • b. Tìm số nguyên dương k₀ nhỏ nhất sao cho k₀p thuộc S.
• Cho tam giác nhọn, không cân ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường phân giác trong BX, CY của tam giác ABC cắt nhau tại I. J là trung điểm cung nhỏ BC của(O;R). Đường thẳng XY cắt các đường thẳng AI, BC lần lượt tại L, T.
  • a. Chứng minh.
  • b. Chứng minh đường thẳng qua I vuông góc với XY cắt đường thẳng OJ tại điểm O’ đối xứng với điểm O qua điểm J.
  • c. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi G là điểm đối xứng của D qua đường thẳng EF. Biết các đường thẳng DL, AG cắt nhau tại W, chứng minh WI vuông góc với XY.
• Cho a < b < c là ba nghiệm thực của phương trình 8x³ – 4x² – 4x + 1 = 0.
  • a. Lập phương trình bậc ba có 3 nghiệm là 1 – 2a², 1 – 2b², 1 – 2c².
  • b. Chứng minh rằng: 2a² + b = 2b² + c = 2c² + a = 1.