Đề thi vào 10 môn Toán (chuyên) năm 2023 - 2024 trường chuyên Hạ Long - Quảng Ninh

Website MeToan.Com xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán (chuyên) năm học 2023 - 2024 trường THPT chuyên Hạ Long, tỉnh Quảng Ninh; kỳ thi được diễn ra vào ngày 03 tháng 06 năm 2023.

Trích dẫn Đề thi vào 10 môn Toán (chuyên) năm 2023 - 2024 trường chuyên Hạ Long - Quảng Ninh:

• Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x² − y và x² + y đều là các số chính phương. Chứng minh y là số chẵn.
• Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Hai đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc BAC cắt đường thẳng BD và đường tròn (O) theo thứ tự tại M và I (I khác A). Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại K (K khác B), hai đường thẳng AC và IK cắt nhau tại Q, hai đường thẳng QH và AB cắt nhau tại P. Chứng minh:
  • a) Tứ giác AMQK nội tiếp.
  • b) Tam giác APQ cân tại A.
• Trên bảng cho 2023 số nguyên phân biệt, mỗi số đều có dạng a² + b² trong đó a, b là các số nguyên. Mỗi lần ta thực hiện một phép biến đổi như sau: Xóa hai số tùy ý rồi viết thêm một số bằng tích của hai số vừa xóa. Hỏi sau một số lần biến đổi, trên bảng có số bằng 26.3^2023 hay không? Giải thích tại sao?