Các Phương Pháp Giải Bài Toán Phương Trình Nghiệm Nguyên

Tài liệu gồm 67 trang, cung cấp cho bạn đọc kiến thức về phương trình nghiệm nguyên và giới thiệu một số phương pháp giải bài toán phương trình nghiệm nguyên thường gặp. Các phương pháp được trình bày chi tiết, dễ hiểu, kèm theo ví dụ minh họa có đáp số và hướng dẫn giải chi tiết giúp bạn đọc nắm vững kiến thức.

I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

1. Phương pháp sử dụng các tính chất về quan hệ chia hết:

Khi giải các phương trình nghiệm nguyên, bạn cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình. Từ đó, bạn có thể đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn.

Một số kỹ thuật thường được sử dụng trong phương pháp này bao gồm:

Xét số dư hai vế của phương trình để chỉ ra phương trình không có nghiệm, tính chẵn lẻ của các vế.
Đưa phương trình về dạng phương trình ước số.
Phát hiện tính chia hết của các ẩn.
Sử dụng tính đồng dư của các đại lượng nguyên.

2. Phương pháp đưa hai vế về tổng các bình phương:

Ý tưởng của phương pháp này là biến đổi phương trình về dạng vế trái là tổng của các bình phương và vế phải là tổng của các số chính phương.

3. Phương pháp sử dụng các tính chất của số chính phương:

Một số tính chất của số chính phương thường được dùng trong giải phương trình nghiệm nguyên:

Một số tính chất về chia hết của số chính phương.
Nếu 2 không là ước của a (a là số nguyên) thì a^n không thể là số chính phương với n là số nguyên lẻ.
Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương.
Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên đó bằng 0.

4. Phương pháp đánh giá:

Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các ẩn. Nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức. Một số kỹ thuật thường được sử dụng:

Phương pháp sắp thứ tự các ẩn.
Xét khoảng giá trị của các ẩn.
Sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki.

5. Phương pháp sử dụng tính chất của phương trình bậc hai:

Ý tưởng của phương pháp là quy phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai một ẩn, các ẩn còn lại đóng vai trò tham số. Khi đó các tính chất của phương trình bậc hai thường được sử dụng dưới các dạng như sau:

Sử dụng điều kiện có nghiệm Δ ≥ 0 của phương trình bậc hai.
Sử dụng hệ thức Vi – et.
Sử dụng điều kiện Δ là số chính phương.

6. Phương pháp lùi dần vô hạn:

Ý tưởng của phương pháp lùi dần vô hạn có thể hiểu như sau: Giả sử (x₀, y₀, z₀) là nghiệm của f(x, y, z) = 0. Nhờ những biến đổi và suy luận số học, ta tìm được một nghiệm khác (x₁, y₁, z₁) sao cho các nghiệm quan hệ với bộ nghiệm đầu tiên bởi một tỉ số k nào đó, chẳng hạn x₁ = kx₀, y₁ = ky₀, z₁ = kz₀. Lập luận tương tự ta lại được bộ số nguyên (x₂, y₂, z₂) thỏa mãn x₂ = kx₁, y₂ = ky₁, z₂ = kz₁. Quá trình cứ tiếp tục dẫn đến x₀, y₀, z₀ cùng chia hết cho k^n với n là một số tự nhiên tùy ý. Điều này xảy ra khi và chỉ khi x₀ = y₀ = z₀ = 0.

II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú, nó có thể là phương trình một ẩn hay nhiều ẩn. Nó có thể là phương trình bậc nhất hoặc bậc cao. Cũng có những phương trình dạng đa thức hoặc dạng lũy thừa. Ta có thể chia phương trình nghiệm nguyên thành một số dạng như sau: