Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán trường THPT chuyên KHTN - Hà Nội (Vòng 2) năm học 2017 - 2018

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường KHTN Hà Nội năm 2017 - 2018 (Vòng 2)

Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội năm học 2017 - 2018, bài thi môn Toán vòng 2 gồm 4 bài toán hình học và đại số tự luận.

Dưới đây là một số bài toán tiêu biểu trong đề thi:

Bài 1: Cho n là số nguyên dương, n > 5. Xét một đa giác lồi n cạnh. Người ta muốn kẻ số đường chéo của đa giác mà các đường chéo này chia đa giác đã cho thành đúng k miền, mỗi miền là một ngũ giác lồi (hai miền bất kỳ không có điểm trong chung).

a. Chứng minh rằng ta có thể thực hiện được với n = 2018, k = 672.

b. Với n = 2017, k = 672 ta có thể thực hiện được không? Hãy giải thích.

Bài 2: Giả sử p, q là hai số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức: p(p – 1) = q(q^2 – 1) (*)

a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương K sao cho: p – 1 = kq; q^2 – 1 = kp.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p; q thỏa mãn đẳng thức (*).