Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2017-2018 sở GD&ĐT Bình Dương - Lời giải chi tiết

Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán sở GD&ĐT Bình Dương năm học 2017-2018 có lời giải chi tiết

Bài thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm học 2017 - 2018 của sở GD&ĐT Bình Dương gồm 5 bài toán tự luận. Dưới đây là một số bài toán tiêu biểu có lời giải chi tiết:

Bài 1: Hai đội công nhân cùng đắp một con đê ngăn triều cường. Nếu hai đội cùng làm thì trong 6 ngày sẽ xong việc. Nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc chậm hơn đội II là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội đắp xong con đê trong bao nhiêu ngày?

Lời giải:

Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x (ngày, x > 9)

=> Thời gian đội II làm một mình xong công việc là x - 9 (ngày)

Trong một ngày, đội I làm được 1/x công việc

Trong một ngày, đội II làm được 1/(x-9) công việc.

Vì hai đội cùng làm trong 6 ngày xong việc nên ta có phương trình:

6(1/x + 1/(x-9)) = 1

Giải phương trình ta được x = 18 (TMĐK) hoặc x = 3 (loại do x>9)

Vậy thời gian đội I làm một mình xong công việc là 18 ngày, thời gian đội II làm một mình xong công việc là 9 ngày.

Bài 2: Cho tam giác AMB cân tại M nội tiếp trong đường tròn (O; R). Kẻ MH vuông góc AB (H thuộc AB), MH cắt đường tròn tại N. Biết MA = 10cm, AB = 12cm

a) Tính MH và bán kính R của đường tròn

b) Trên tia đối tia BA lấy điểm C. MC cắt đường tròn tại D, ND cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác MDEH nội tiếp và chứng minh các hệ thức sau: NB² = NE.ND và AC.BE = BC.AE

c) Chứng minh NB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.

Lời giải:

Vì tam giác AMB cân tại M và MH vuông góc AB nên H là trung điểm AB.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AMH, ta có: MH = √(MA² - AH²) = √(10² - 6²) = 8cm
R = OM = √(OH² + MH²) = √(6² + 8²) = 10cm

Tứ giác MDEH có: góc MHE = góc MDE = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => Tứ giác MDEH nội tiếp.
Xét tam giác NBE và tam giác NDA, có:
- góc BNE chung
- góc NBE = góc NDA (góc nội tiếp cùng chắn cung NE) => Tam giác NBE đồng dạng với tam giác NDA (g.g) => NB/ND = NE/NA => NB.NA = NE.ND Mà NA = NB (hai tiếp tuyến cắt nhau) => NB² = NE.ND
Chứng minh tương tự, ta có: AC² = AE.AD
Ta có: góc ACB = góc ADB (góc nội tiếp cùng chắn cung AB) => Tam giác ACB đồng dạng với tam giác ADB (g.g) => AC/AD = BC/AB => AC.AB = BC.AD => AC.AB/AE = BC.AD/AE => AC.BE = BC.AE (do AB/AE = AD/AE)

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.
Ta có: góc NBE = góc NDE (tứ giác MDEH nội tiếp)
Mà góc NDE = góc IBE (góc nội tiếp cùng chắn cung DE)
=> góc NBE = góc IBE => BI là phân giác của góc NBD.
Tam giác NBD có BI vừa là đường cao, vừa là phân giác nên tam giác NBD cân tại B.
=> BI cũng là trung trực của ND.
Do đó, BN = BD = khoảng cách từ B đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.
Vậy NB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.

Lưu ý: Trên đây chỉ là trích dẫn một số bài toán trong đề thi. Để xem đầy đủ đề thi và lời giải chi tiết, bạn đọc có thể tìm kiếm trên các website giáo dục uy tín.