Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 Môn Toán Chuyên Bắc Giang Năm 2020 - 2021
Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán trường THPT chuyên Bắc Giang năm học 2020 - 2021 được tổ chức vào thứ Bảy, ngày 18 tháng 07 năm 2020. Đề thi gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, thời gian làm bài là 150 phút.
Dưới đây là trích dẫn một số nội dung trong đề thi:
Bài 1: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = −mx + 2 − m (m là tham số). Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ sao cho biểu thức T = 1/(x₁ + 1)⁴ + 1/(x₂ + 1)⁴ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Trong mặt phẳng cho 2020 điểm phân biệt sao cho từ ba điểm bất kỳ luôn chọn ra được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1cm. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1cm chứa không ít hơn 1010 điểm trong 2020 điểm đã cho.
Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, K là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF.
- Chứng minh rằng KB.KC = KE.KF và H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF.
- Qua điểm F kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AC, đường thẳng này cắt các đường thẳng AK, AD lần lượt tại P và Q. Chứng minh FP = FQ.
- Chứng minh rằng đường thẳng HK vuông góc với đường thẳng AM.
