Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 Chuyên Toán Hà Nội Năm 2019 - 2020 (Vòng 2)

Đề thi Vào Lớp 10 Chuyên Toán Hà Nội Năm Học 2019 - 2020 (Vòng 2)

Vào ngày 03 tháng 06 năm 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hà Nội đã tổ chức kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trung học Phổ thông chuyên năm học 2019 – 2020 dành cho các thí sinh dự thi vào các lớp chuyên Toán.

Đề thi Toán chuyên Vòng 2 gồm 1 trang, được biên soạn theo dạng đề tự luận với 5 bài toán, thời gian làm bài là 150 phút.

Dưới đây là trích dẫn một phần nội dung của đề thi:

Bài 1:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Gọi điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tia AI cắt đoạn thẳng BC tại điểm J, cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M (M khác A).

1. Chứng minh MI^2 = MJ.MA.
2. Kẻ đường kính MN của đường tròn (O). Đường thẳng MN cắt các tia phân giác trong của góc ABC và góc ACB lần lượt tại các điểm P và Q. Chứng minh N là trung điểm của đoạn thẳng PQ.
3. Lấy điểm E bất kỳ thuộc cung nhỏ MC của đường tròn (O) (E khác M ). Gọi F là điểm đối xứng với điểm I qua điểm E. Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB. Chứng minh bốn điểm P, Q, R, F cùng thuộc một đường tròn.

Bài 2:

Mỗi điểm trong một mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ.

1. Chứng minh trong mặt phẳng đó tồn tại hai điểm được tô bởi cùng một màu và có khoảng cách bằng d.
2. Gọi tam giác có ba đỉnh được tô đi cùng một màu là tam giác đơn sắc. Chứng minh trong mặt phẳng đó tồn tại hai tam giác đơn sắc là hai tam giác vuông và đồng dạng với nhau theo tỉ số k = 1/2019.