Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán (Chuyên) năm 2021 - 2022 Sở GD&ĐT Hà Nam

MeToan.Com xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán (Chuyên) năm 2021 - 2022 Sở GD&ĐT Hà Nam. Đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm (bảng chính thức do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Nam công bố).

Trích dẫn đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán (Chuyên) năm 2021 - 2022 Sở GD&ĐT Hà Nam:

• Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi Δ là tiếp tuyến của (O) tại A. Trên Δ lấy điểm M sao cho MA = R. Qua M vẽ tiếp tuyến MC (C thuộc đường tròn (O), C khác A). Gọi H và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB và AM. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm O và vuông góc với AB. Gọi N là giao điểm của d và BC.

  1. Chứng minh OM // BN và MC = NO.
  2. Gọi Q là giao điểm của MB và CH, K là giao điểm của AC và OM. Chứng minh đường thẳng QK đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC.
  3. Gọi F là giao điểm của QK và AM, E là giao điểm CD và OM. Chứng minh tứ giác FEQO là hình bình hành. Khi M thay đổi trên Δ, tìm giá trị lớn nhất của QF.EO.

• Bài 2: Giải phương trình $3\sqrt[3]{2xyz} = 3 + 2021$ với x, y và z là các số nguyên.

• Bài 3: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Bên trong hình vuông người ta lấy tùy ý 2021 điểm phân biệt A1, A2, ..., A2021 sao cho 2025 điểm A, B, C, D, A1, A2, ..., A2021 không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng từ 2025 điểm trên luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của hình tam giác có diện tích không quá $\frac{1}{2}$.