Các dạng toán có yếu tố Max – Min trong bài toán thể tích

Tài liệu gồm 33 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Hoàng Xuân Bính (giáo viên tiếp sức chinh phục kỳ thi tốt nghiệp THPT 2021 môn Toán trên kênh truyền hình Giáo dục Quốc gia VTV7), hướng dẫn giải các dạng toán có yếu tố max – min trong bài toán thể tích khối đa diện (cực trị thể tích / GTLN – GTNN thể tích). Đây là một dạng toán xuất hiện nhiều trong đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán nhiều năm gần đây và cũng là dạng bài tập khiến nhiều học sinh gặp khó khăn về việc tiếp cận và tìm lời giải.

1. Lý thuyết

a) Một số phương pháp chung để giải quyết các bài toán cực trị về thể tích:

Thông thường để giải quyết một bài toán cực trị về thể tích thì mục tiêu đầu tiên của chúng ta chính là thiết lập được các yếu tố cơ bản của công thức tính thể tích là tìm được chiều cao, diện tích đáy của khối chóp hoặc lăng trụ ấy.
Sau khi đã xác định được công thức của thể tích thì ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp sau đây:
- Phương pháp 1: Khảo sát hàm số một biến số.
- Phương pháp 2: Sử dụng đánh giá bằng bất đẳng thức cổ điển: Cauchy, Cauchy Schwarz ….
- Phương pháp 3: Có thể sử dụng đánh giá bằng hình học (ví dụ so sánh hình chiếu với hình xiên …). b) Một số kết quả thường được sử dụng trong các bài toán cực trị. c) Bất đẳng thức Cauchy.

2. Bài tập minh họa

2.1 Dạng 1: Các bài toán cực trị về tứ diện hoặc hình chóp tam giác.

Dạng 1: Tứ diện có 5 cạnh độ dài bằng nhau và 1 cạnh còn lại có dộ dài thay đổi hoặc tứ diện có 1 cặp cạnh chéo nhau có độ dài thay đổi và 4 cạnh còn lại có độ dài bằng nhau.
Dạng 2: Tứ diện có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau hoặc có một cạnh bên chính là đoạn vuông góc chung của 1 cặp cạnh chéo nhau.
Dạng 3: Tứ diện có 1 đỉnh mà tại đỉnh đó độ dài 3 cạnh chung đỉnh không đổi và hai góc có số đo cố định, góc còn lại có số đo chưa xác định.
Dạng 4: Tứ diện được phân tích thành hai tứ diện nhỏ có chung mặt đáy và có 1 cạnh bên vuông góc với mặt đáy chung đó.
Dạng 5: Sử dụng tính chất đồng phẳng của 4 điểm.
Dạng 6: Tứ diện gần đều.

2.2 Các bài toán cực trị về hình chóp tứ giác.

Dạng 1: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
Dạng 2: Sử dụng tỉ số thể tích để xác định cực trị.
Dạng 3: Chóp có chiều cao không đổi.
Dạng 4: Các bài toán liên quan đến khoảng cách, góc.

2.3 Các bài toán cực trị về hình hộp. Trong dạng bài tập này thì cách thức để giải quyết bài toán vẫn tương tự như trong dạng bài toán cực trị về hình chóp. Từ giả thiết bài toán, ta xác định mối quan hệ của đường cao và diện tích đáy của hình hộp theo các đại lượng cho trước và thiết lập công thức tính thể tích về theo 1 đại lượng biến nào đó. Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc sử dụng phương pháp hàm số để xác định đáp số của bài toán.

2.4 Các bài toán thực tế. Với các bài toán thực tế liên quan đến cực trị thể tích của các khối đa diện thường dẫn đến yêu cầu xác định đúng được các điều kiện về chiều cao, diện tích đáy theo đại lượng biến cần tìm của bài toán. Sau đó dựa vào đánh giá bất đẳng thức Cauchy hoặc sử dụng phương pháp hàm số là sẽ giải quyết được bài toán.