Bài Toán Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng: Cách Tiếp Cận Mới

Tài liệu 7 trang do ThS. Hoàng Minh Quân (giáo viên Toán trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội) biên soạn, trình bày một cách tiếp cận khác cho bài toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Mặc dù không còn mới trong chương trình Toán THPT, bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng vẫn luôn xuất hiện trong các bài kiểm tra định kỳ, thi học sinh giỏi và thi tốt nghiệp THPT hàng năm. Bài viết này khai thác một hướng tiếp cận mới cho dạng bài toán này.

1. Kiến thức cơ bản

1.1. Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a' của nó trên mặt phẳng (a) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (a).

1.2. Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (a):

Cách 1:
- Bước 1: Tìm giao điểm O của đường thẳng a và mặt phẳng (a) (O = a giao (a)).
- Bước 2: Lấy điểm A thuộc đường thẳng a và dựng đường thẳng AH vuông góc với mặt phẳng (a) tại H. Khi đó, góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (a) là góc AOH ((a;(a)) = (a;a') = AOH).
- Bước 3: Tính số đo góc AOH. Lưu ý: 0° ≤ (a;(a)) ≤ 90°.
Cách 2: Tính gián tiếp theo một trong hai hướng:
- Hướng 1: Chọn đường thẳng d song song với a sao cho góc giữa d và (a) có thể tính được. Khi đó, (a;(a)) = (d;(a)).
- Hướng 2: Chọn mặt phẳng (b) song song với (a) sao cho góc giữa a và (b) có thể tính được. Khi đó, (a;(a)) = (a;(b)).

Tuy nhiên, việc xác định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng không phải lúc nào cũng dễ dàng. Do đó, bài viết đề xuất một cách tiếp cận khác, sử dụng khoảng cách để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, nhằm khắc phục hạn chế trên.

1.3. Định hướng tiếp cận mới: Để tính góc x giữa đường thẳng a và mặt phẳng (a), ta có thể áp dụng các bước sau:

Bước 1: Tìm giao điểm O của đường thẳng a và mặt phẳng (a) (O = a giao (a)).
Bước 2: Tính sinx = d(A;(a))/OA, trong đó d(A;(a)) là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (a) và OA là khoảng cách từ điểm A đến giao điểm O.

Cách tiếp cận này phù hợp cho học sinh đã nắm vững cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

2. Ví dụ minh họa

Bài viết cung cấp một số ví dụ minh họa với lời giải chi tiết theo hướng tiếp cận sử dụng khoảng cách để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, bao gồm:

2.1. Áp dụng cho các bài toán khối chóp. 2.2. Áp dụng cho các bài toán khối lăng trụ. 2.3. Bài tập tự luyện.