Đề Thi Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia Môn Toán 2025-2026 THPT Chuyên Lam Sơn (Kèm Lời Giải)
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Quốc gia (VMO) luôn là một sân chơi trí tuệ đỉnh cao, nơi quy tụ những tài năng Toán học xuất sắc nhất từ khắp mọi miền đất nước. Để chuẩn bị cho đấu trường này, các trường THPT chuyên trên cả nước đều tổ chức những kỳ thi tuyển chọn đội tuyển vô cùng khắt khe. Trong đó, kỳ thi của trường THPT chuyên Lam Sơn, tỉnh Thanh Hóa, luôn được đánh giá cao về chất lượng và độ khó, phản ánh sát sao cấu trúc của kỳ thi chính thức.
Chúng tôi xin trân trọng giới thiệu bộ đề kiểm tra khảo sát nhằm chọn lựa học sinh tham gia đội tuyển của tỉnh Thanh Hóa dự thi chọn học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán cho năm học 2025 – 2026. Kỳ thi này đã được tổ chức trong hai ngày, 25 và 26 tháng 08 năm 2025. Tài liệu này không chỉ cung cấp đề thi chính thức mà còn bao gồm đáp án cùng lời giải chi tiết, mạch lạc, giúp các em học sinh và quý thầy cô có một nguồn tham khảo chất lượng để học tập và giảng dạy.
Cấu trúc đề thi bám sát các mảng kiến thức trọng tâm của Toán học phổ thông nâng cao, bao gồm Đại số, Số học, Hình học và Tổ hợp. Các bài toán được xây dựng một cách công phu, đòi hỏi thí sinh phải có nền tảng kiến thức vững chắc, tư duy logic sắc bén và khả năng vận dụng sáng tạo các phương pháp giải toán.
Trích dẫn một số bài toán tiêu biểu trong đề thi:
Bài toán Tổ hợp: Cho n điểm trong mặt phẳng, với n > 4 và không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có ít nhất (n – 3)(n – 4)/2 tứ giác lồi có đỉnh nằm trong số n điểm đã cho.
Bài toán Hình học phẳng: Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H và M là trung điểm của AH. Gọi (O1), (O2) là các đường tròn đi qua H và lần lượt tiếp xúc với BC ở B, C. Gọi X, Y lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp góc H của hai tam giác HMO1, HМО2. a) Chứng minh rằng XY song song với O1O2. b) Giả sử O1O2 cắt BC ở T. Đường tròn (MOT) cắt OH tại K khác O. Chứng minh rằng tâm của đường tròn (AOK) nằm trên một đường trung bình của tam giác ABC.
Bài toán Đại số: Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số nguyên sao cho tồn tại số M để n^(n-1) – 1 chia hết cho P(n) với mọi số tự nhiên n ≥ M.
