Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Hưng Yên

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển dự thi chọn học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hưng Yên; kỳ thi được diễn ra vào ngày 27 và 28 tháng 08 năm 2024.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Hưng Yên:

• Bài 1: Xét lưới ô vuông 2024 x 2024. Trên lưới ô vuông đó luôn có ít nhất một trong hai loại rắn là rắn đỏ và rắn lục. Rắn đỏ có chiều dài bằng k sẽ chiếm giữ k ô vuông nằm ngang liên tiếp và không chiếm giữ ô vuông nào khác; rắn lục có chiều dài bằng k sẽ chiếm giữ k ô vuông nằm dọc liên tiếp và cũng không chiếm giữ ô vuông nào khác (k là số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 2024). Biết trên lưới ô vuông luôn có ít nhất một con rắn và thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây:
  • i) Không có ô vuông nào được chiếm giữ bởi nhiều hơn 1 con rắn.
  • ii) Nếu có một ô vuông trong lưới ở ngay bên trái hoặc ngay bên phải con rắn đỏ thì ô vuông đó bị chiếm giữ bởi một con rắn lục.
  • iii) Nếu có một ô vuông trong lưới ở ngay bên trên hoặc ngay bên dưới con rắn lục thì ô vuông đó bị chiếm giữ bởi một con rắn đỏ. Gọi S là tổng bình phương chiều dài các con rắn trong lưới ô vuông.
  • a) Chứng minh tồn tại cách sắp xếp các con rắn trên lưới ô vuông này sao cho giá trị của S là 2024³ + 2024³ hoặc 4¹.
  • b) Tìm giá trị nhỏ nhất của S.
• Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Gọi N là trung điểm đoạn thẳng OH. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C xuống BC, CA, AB. Gọi Ha, Hb, Hc lần lượt là điểm đối xứng với H qua BC, CA, AB. Tiếp tuyến tại C và Hb của đường tròn (O) cắt nhau tại Q, tiếp tuyến tại B và Hc của đường tròn (O) cắt nhau tại P.
  • a) Chứng minh P, Q, H cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với AN.
  • b) Gọi (Oa) là đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là P, Q và giao điểm hai tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O). Định nghĩa các đường tròn (Ob), (Oc) tương tự như (Oa). Chứng minh rằng tâm đẳng phương của ba đường tròn (Oa), (Ob), (Oc) nằm trên đường thẳng OH.