Đề thi và đáp án kì thi học sinh giỏi quốc gia THPT môn Toán năm 2024 - 2025 - Ngày 2
Đề thi chính thức môn Toán trong kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm học 2024 - 2025, ngày thi thứ hai. Đề thi do Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành, dành cho học sinh trung học phổ thông. Kỳ thi diễn ra vào ngày 26/12/2024, với thời gian làm bài là 180 phút (không kể thời gian giao đề).
Câu 4 (7 điểm):
Cho tam giác nhọn không cân ABC với các đường cao AD, BE, CF. H, O, I lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. M, N, P là trung điểm BC, CA, AB. X, Y, Z là giao điểm của các cặp đường thẳng (AI, NP), (BI, PM), (CI, MN).
a. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác AXD, BYE, CZF có hai điểm chung nằm trên đường thẳng OH. b. Các đường thẳng XP, YM, ZN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AXD, BYE, CZF tại X', Y', Z' (khác X, Y, Z). Gọi J đối xứng I qua O. Chứng minh X', Y', Z' cùng nằm trên đường thẳng vuông góc với HJ.
Câu 5 (7 điểm):
Cho bảng ô vuông 3k x 3k (k nguyên dương). Các ô được đánh tọa độ (i, j) theo cột và hàng. Đặt 4k viên bi vào các ô, mỗi ô không quá 1 viên, thỏa mãn:
- Mỗi hàng và cột có ít nhất 1 viên bi.
- Mỗi viên bi cùng hàng hoặc cùng cột với ít nhất 1 viên bi khác.
a. Với k = 1, có bao nhiêu cách đặt 4 viên bi vào bảng? (Hai cách khác nhau nếu có ô (i, j) có bi ở cách này nhưng không có ở cách kia.) b. Với k ≥ 1, tìm số tự nhiên N lớn nhất sao cho với mọi cách đánh dấu N ô trên bảng, luôn tồn tại cách đặt 4k viên bi thỏa mãn yêu cầu mà không đặt bi vào N ô đã đánh dấu.
Câu 6 (6 điểm):
Cho a, b, c là các số thực không âm, a + b + c = 3. Chứng minh:
√(3a² + 4bc + b + c) + √(3b² + 4ca + c + a) + √(3c² + 4ab + a + b) ≥ 9.
